Mengentheoretische Paradoxien und Typentheorie

Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, enthält sich sowohl selbst als auch nicht – Russells Paradoxon stürzte die naive Mengenlehre und gestaltete die Grundlagen der Logik neu.

Definition

Die mengentheoretischen Paradoxien sind Widersprüche, die in der naiven Mengenlehre aus dem uneingeschränkten Komprehensionsprinzip ableitbar sind, wonach jede Bedingung eine Menge definiert; die Typentheorie blockiert sie, indem sie Entitäten in einer Hierarchie von Typen ordnet und einer Menge verbietet, sich selbst anzugehören.

Scope

Dieses Thema behandelt die logischen und mengentheoretischen Paradoxien und die grundlegenden Reaktionen, die sie hervorriefen. Es behandelt Russells Paradoxon der Menge aller nicht-selbstgliedrigen Mengen, das Burali-Forti-Paradoxon der größten Ordinalzahl und Cantors Paradoxon der Universalmenge; Russells Diagnose mittels des Circulus-vitiosus-Prinzips und die daraus resultierende verzweigte Typentheorie in den Principia Mathematica; sowie die alternative Reaktion der axiomatischen (Zermelo-Fraenkel) Mengenlehre, die die Komprehension einschränkt, um die Paradoxien zu vermeiden.

Core questions

• Welche Annahme in der naiven Mengenlehre erzeugt Russells Paradoxon?
• Erfordert die Vermeidung der Paradoxien ein Circulus-vitiosus-Prinzip und Typenbeschränkungen?
• Wie unterscheiden sich Typentheorie und axiomatische Mengenlehre als Reaktionen?
• Sind die logischen Paradoxien grundsätzlich dieselben wie die semantischen?

Key concepts

• uneingeschränkte Komprehension
• Russells Paradoxon
• Burali-Forti- und Cantors Paradoxien
• Circulus-vitiosus-Prinzip
• Typentheorie
• Aussonderungsaxiom

Key theories

Verzweigte Typentheorie

Russell blockiert die Paradoxien mit dem Circulus-vitiosus-Prinzip und einer Hierarchie von Typen, in der eine Entität nur über Entitäten definiert werden kann, die in der Hierarchie niedriger stehen, wodurch Selbstmitgliedschaft und selbstanwendbare Definitionen verhindert werden.

Eingeschränkte Komprehension

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel) verzichtet auf die uneingeschränkte Komprehension zugunsten von Aussonderung und Ersetzung, sodass keine Menge aller nicht-selbstgliedrigen Mengen gebildet werden kann, wodurch Russells Paradoxon ohne Typenhierarchie aufgelöst wird.

History

Russell entdeckte sein Paradoxon 1901, während er Freges Logizismus studierte, und untergrub damit Freges Grundgesetz V. Russells Typentheorie von 1908 und die Principia Mathematica von 1910 boten eine Lösung; Zermelos Axiomatisierung von 1908, später von Fraenkel erweitert, bot eine andere, und die beiden Ansätze bilden die Grundlage moderner Fundamente und der einfachen Typentheorie, die in Logik und Informatik verwendet wird.

Debates

Typen vs. axiomatische Mengenlehre

Ob die Paradoxien am besten durch eine Typenhierarchie, die auf dem Circulus-vitiosus-Prinzip basiert, oder durch die Einschränkung von Mengenexistenzaxiomen vermieden werden, und was jeder Ansatz über die Natur von Mengen, Klassen und prädikativen versus imprädikativen Definitionen impliziert.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

Was ist Russells Paradoxon in einfachen Worten?

Betrachten Sie die Menge R aller Mengen, die keine Elemente von sich selbst sind. Fragen Sie, ob R ein Element von sich selbst ist. Wenn ja, dann sollte es nach seiner eigenen Definition nicht sein; wenn nicht, dann qualifiziert es sich und sollte es sein. Jede Antwort widerspricht der anderen, was zeigt, dass die Annahme der naiven Mengenlehre, dass jede Eigenschaft eine Menge definiert, falsch sein muss.