حلول شرودنجر غير المعتمدة على الزمن
يُعد إيجاد مستويات الطاقة والدوال الموجية الثابتة لجسيم كمومي في جهد معين المهمة الأولى في ميكانيكا الكم الحسابية، ويتم حلها إما عن طريق إطلاق الدالة الموجية أو عن طريق تحويل هاملتونية مقطعة إلى شكل قطري.
Definition
معادلة شرودنجر غير المعتمدة على الزمن هي معادلة قيم ذاتية تكون حلولها هي الحالات الثابتة ومستويات الطاقة لنظام كمومي؛ وحلها عدديًا يعني إيجاد تلك القيم الذاتية والدوال الذاتية لجهد معين.
Scope
يغطي هذا الموضوع الحل العددي لمعادلة شرودنجر الثابتة في بعد واحد وبضعة أبعاد: طريقة الإطلاق والمطابقة مع البحث عن القيم الذاتية، طريقة نيوميروف للتكامل، وطرق المصفوفات التي تقطع الهاملتونية على شبكة أو في أساس. ويتناول الحالات المقيدة، وبإيجاز، حالات التشتت.
Core questions
- كيف تجد طريقة الإطلاق القيم الذاتية للطاقة عن طريق فرض الشروط الحدودية؟
- لماذا تعد طريقة نيوميروف مناسبة تمامًا لتكامل معادلة شرودنجر؟
- كيف يحول تقطيع الهاملتونية المشكلة إلى تحويل مصفوفة إلى شكل قطري؟
- كيف يتم تمييز الحالات المقيدة المنفصلة عن المتصلة؟
Key theories
- الإطلاق والمطابقة
- يتم تكامل الدالة الموجية من الحدود إلى الداخل لطاقة تجريبية، ويتم تعديل الطاقة حتى تتطابق الحلول الداخلية والخارجية بسلاسة، مما يحدد القيم الذاتية المسموح بها.
- تكامل نيوميروف
- تستغل طريقة نيوميروف البنية الخاصة لمعادلة شرودنجر، التي لا تحتوي على حد مشتق أول، لتحقيق دقة عالية الترتيب بتكلفة منخفضة عند تكامل الدالة الموجية.
- تحويل الهاملتونية إلى شكل قطري باستخدام المصفوفات
- تمثيل الهاملتونية على شبكة أو في أساس محدود ينتج مصفوفة تكون قيمها الذاتية هي مستويات الطاقة ومتجهاتها الذاتية هي الدوال الموجية المقطعة، والتي يتم إيجادها بواسطة حلول القيم الذاتية القياسية.
Clinical relevance
يُعطي حل معادلة شرودنجر الثابتة مستويات الطاقة الذرية والجزيئية، أطياف الآبار الكمومية والتركيبات النانوية، والمدارات أحادية الجسيم التي تغذي حسابات البنية الإلكترونية.
History
تبع التكامل العددي لمعادلة شرودنجر بعد وقت قصير من صياغتها عام 1926، حيث أصبحت طريقة نيوميروف، التي صُممت في الأصل للميكانيكا السماوية، أساسية؛ وجعل نمو أجهزة الكمبيوتر تحويل الهاملتونية الكاملة إلى شكل قطري بديلاً روتينيًا.
Key figures
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- thijssen2007
- giordano2006
Frequently asked questions
- متى يجب استخدام طريقة الإطلاق بدلاً من تحويل المصفوفة إلى شكل قطري؟
- تُعد طريقة الإطلاق طبيعية ودقيقة للمشكلات أحادية البعد أو الشعاعية حيث يتم البحث عن قيمة ذاتية واحدة في كل مرة. أما تحويل المصفوفة إلى شكل قطري فهو أكثر ملاءمة عندما تكون هناك حاجة إلى العديد من المستويات في وقت واحد أو في أبعاد أعلى حيث تصبح طريقة الإطلاق غير عملية.
- لماذا تُفضل طريقة نيوميروف لهذه المعادلة؟
- لا تحتوي معادلة شرودنجر على حد مشتق أول، وهو ما صُممت طريقة نيوميروف خصيصًا لاستغلاله، مما يوفر دقة من الرتبة الرابعة بجهد إضافي قليل مقارنةً بطريقة تكامل أساسية.