توزيعات الاحتمال الشائعة
تتكرر مجموعة صغيرة من عائلات التوزيعات، منها التوزيع ذو الحدين، وتوزيع بواسون، والتوزيع الهندسي، والتوزيع المنتظم، والتوزيع الطبيعي، والتوزيع الأسي، وتوزيع غاما، في مجالات الاحتمالات والإحصاء لأن كل منها ينشأ من آلية توليد بسيطة ومتكررة.
Definition
توزيعات الاحتمال الشائعة هي العائلات البارامترية القياسية للقوانين، يُعرّف كل منها بدالة كتلة احتمال أو دالة كثافة احتمال مع عدد قليل من المعلمات، والتي تُنمذج الأنماط الأكثر شيوعًا للعشوائية وتُعد بمثابة لبنات بناء للنماذج الاحتمالية.
Scope
يغطي الموضوع العائلات المنفصلة الرئيسية مثل بيرنولي، وذو الحدين، والهندسي، وذو الحدين السلبي، وبواسون، والعائلات المتصلة الرئيسية مثل المنتظم، والأسي، وغاما، وبيتا، والطبيعي، بالإضافة إلى آليات توليدها، وعزومها، ودوالها المميزة، والعلاقات الحدية والهيكلية التي تربط بينها.
Core questions
- ما هي آلية التوليد التي تؤدي إلى كل توزيع قياسي؟
- كيف ترتبط العائلات المنفصلة والمتصلة بالحدود والتحويلات؟
- ما هي العزوم والدوال المميزة للعائلات القياسية؟
- لماذا يحتل التوزيع الطبيعي مكانة مركزية بينها؟
Key concepts
- بيرنولي وذو الحدين
- بواسون والأسي
- عائلات غاما وبيتا
- التوزيع الطبيعي
- العلاقات بين العائلات
Key theories
- حد بواسون للتوزيع ذي الحدين
- عندما يزداد عدد التجارب المستقلة بينما تتضاءل احتمالية النجاح بحيث يظل العدد المتوقع للنجاحات ثابتًا، يتقارب التوزيع ذو الحدين نحو توزيع بواسون، مما يفسر سبب توزيع عدد الأحداث النادرة وفقًا لتوزيع بواسون.
- التوزيع الطبيعي كحد عالمي
- ينشأ التوزيع الطبيعي كقانون حدي للمجاميع المعيارية للعديد من المساهمات المستقلة الصغيرة، وهذا هو السبب في أنه يُنمذج خطأ القياس والكميات التجميعية ويُعد توزيعًا مرجعيًا للإحصاء الكلاسيكي.
Clinical relevance
تُعد هذه العائلات النماذج الافتراضية في جميع أنحاء الاحتمالات والإحصاءات التطبيقية: يصف توزيع بواسون والتوزيع الأسي الوصول وأعمار المكونات في الموثوقية ونظرية الطوابير، ويصف التوزيع ذو الحدين وما يرتبط به عدد النجاحات في التجارب والمسوحات، ويُعد التوزيع الطبيعي أساسًا لنماذج أخطاء القياس، وفترات الثقة، وجزء كبير من الاستدلال الإحصائي.
History
تراكمت التوزيعات المسماة على مدى ثلاثة قرون: درس بيرنولي ودي موافر التعدادات والتقريب الطبيعي، واشتق بواسون قانون الأحداث النادرة، وأسس غاوس ولابلاس التوزيع الطبيعي للأخطاء. تُنظم المعالجة الحديثة هذه التوزيعات حسب آليات توليدها وعلاقاتها الحدية.
Key figures
- Abraham de Moivre
- Simeon Denis Poisson
- Carl Friedrich Gauss
- Jacob Bernoulli
Related topics
Seminal works
- feller1968
Frequently asked questions
- لماذا يظهر التوزيع الطبيعي كثيرًا؟
- لأن نظرية النهاية المركزية تجعله التوزيع الحدي للمجاميع المعيارية للعديد من التأثيرات الصغيرة المستقلة، لذا فإن أي كمية تتكون من العديد من المساهمات المتشابهة تميل إلى أن تكون طبيعية تقريبًا بغض النظر عن التفاصيل.
- كيف يرتبط التوزيع الأسي وتوزيع بواسون؟
- يصفان نفس العملية من زاويتين: في عملية بواسون، يكون عدد الأحداث في فترة زمنية ثابتة موزعًا وفقًا لتوزيع بواسون بينما تكون أوقات الانتظار بين الأحداث موزعًا أسيًا.