المتغيرات العشوائية ودوال التوزيع
المتغير العشوائي هو دالة قابلة للقياس من فضاء احتمالي إلى الخط الحقيقي، ودالة توزيعه، وهي الاحتمال بأن المتغير لا يتجاوز مستوى معين، هي الطريقة الشاملة لوصف كيفية انتشار قيمه.
Definition
المتغير العشوائي هو دالة قابلة للقياس من فضاء احتمالي إلى الأعداد الحقيقية، ودالة توزيعه تربط كل عدد حقيقي بالاحتمال بأن المتغير يأخذ قيمة أقل من أو تساوي هذا العدد.
Scope
يغطي الموضوع قابلية قياس المتغيرات العشوائية الحقيقية والمتجهة القيمة، ودالة التوزيع التراكمي وخصائصها التعريفية من الرتابة، والاستمرارية من اليمين، والنهايات، والتطابق بين دوال التوزيع ومقاييس الاحتمال على الخط، والكثافات وتحلل Lebesgue إلى أجزاء منفصلة، ومستمرة بشكل مطلق، وشاذة، والتوزيعات المشتركة للمتجهات العشوائية مع هوامشها.
Core questions
- ماذا يعني أن تكون الدالة على فضاء العينة متغيرًا عشوائيًا؟
- ما هي الخصائص التي تميز دالة التوزيع التراكمي، وكيف تحدد التوزيع؟
- متى يكون للتوزيع كثافة، وما هي البدائل؟
- كيف ترتبط التوزيعات المشتركة والهامشية لعدة متغيرات عشوائية؟
Key concepts
- دالة قابلة للقياس
- دالة التوزيع التراكمي
- كثافة الاحتمال
- تحلل Lebesgue
- التوزيعات المشتركة والهامشية
Key theories
- تطابق دالة التوزيع
- يتوافق كل مقياس احتمالي على الخط الحقيقي مع دالة توزيع فريدة غير متناقصة ومستمرة من اليمين مع نهايات صفر وواحد، والعكس صحيح، مما يوفر وصفًا كاملاً وملموسًا للتوزيعات أحادية البعد.
- تحلل Lebesgue للتوزيع
- ينقسم أي توزيع على الخط بشكل فريد إلى جزء منفصل مدعوم على الذرات، وجزء مستمر بشكل مطلق بكثافة، وجزء مستمر شاذ، مما يوضح متى توجد كثافة احتمالية ومتى لا توجد.
Clinical relevance
دوال التوزيع هي ما تقدره البيانات التجريبية وما تفترضه النماذج الإحصائية؛ فدالة التوزيع التجريبية تكمن وراء اختبارات جودة المطابقة و Bootstrap، وتحدد الكميات المشتقة من دالة التوزيع القيمة المعرضة للخطر والنطاقات المرجعية، والكثافات هي الكائنات التي يتم تركيبها في معظم الاستدلالات القائمة على الاحتمالية.
History
نشأ الاعتراف بأن المتغير العشوائي هو ببساطة دالة قابلة للقياس وأن سلوكه يتم التقاطه بواسطة دالة توزيع مع إعادة صياغة نظرية القياس للاحتمالات في أوائل القرن العشرين، ليحل محل المعالجة السابقة لكل حالة على حدة لتوزيعات معينة.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- هل كل متغير عشوائي له كثافة؟
- لا؛ فقط المتغيرات العشوائية التي يكون توزيعها مستمرًا بشكل مطلق لها كثافة. المتغيرات المنفصلة تضع كتلة على نقاط فردية، والتوزيعات المستمرة الشاذة النادرة ليس لها كثافة على الرغم من عدم وجود ذرات لديها.
- لماذا تُعرّف دالة التوزيع بـ 'أقل من أو يساوي' بدلاً من 'أقل تمامًا'؟
- يجعل اصطلاح 'أقل من أو يساوي' دالة التوزيع مستمرة من اليمين، وهو الخيار الطبيعي الذي يضعها في توافق واضح مع مقياس الاحتمال الأساسي وذراته.