توزيعات ذي الحدين وبواسون
توزيعات ذي الحدين وبواسون هما التوزيعان المتقطعان الأكثر استخدامًا في الإحصاء الحيوي. يصف توزيع ذي الحدين عدد النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة بنعم/لا، بينما يصف توزيع بواسون عدد الأحداث التي تقع في فترة زمنية أو مساحة ثابتة عندما تحدث الأحداث بمعدل متوسط ثابت. كلاهما ينمذج التعدادات، وهي منتشرة في البيانات الصحية.
Definition
يعطي توزيع ذي الحدين احتمال الحصول على عدد معين من النجاحات في عدد ثابت n من التجارب المستقلة، لكل منها احتمال نجاح p؛ ويعطي توزيع بواسون احتمال عدد معين من الأحداث في فترة ثابتة عندما تحدث الأحداث بشكل مستقل بمعدل متوسط ثابت.
Scope
يغطي هذا المدخل افتراضات ومعلمات ومتوسط وتباين توزيعات ذي الحدين وبواسون، والإعدادات التي يصفها كل منهما، والعلاقة بينهما، وتقريباتهما الطبيعية. ويوضح استخدامهما للنسب ومعدلات الأحداث في البحوث الصحية. وهو مرجع منهجي وليس إرشادات سريرية.
Core questions
- ما هي الافتراضات التي تحدد حالة ذي الحدين مقابل حالة بواسون؟
- كيف يتم تحديد متوسط وتباين كل توزيع؟
- متى يقترب توزيع بواسون من توزيع ذي الحدين؟
- متى يمكن تقريب كل منهما بالتوزيع الطبيعي؟
Key concepts
- تجربة برنولي
- عدد التجارب n واحتمال النجاح p
- متوسط وتباين ذي الحدين
- معلمة معدل بواسون
- تساوي متوسط وتباين بواسون
- تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين
- التقريب الطبيعي
- التعدادات والنسب ومعدلات الأحداث
Mechanisms
ينشأ توزيع ذي الحدين من عدد ثابت n من التجارب المستقلة، كل منها تجربة برنولي بنفس احتمال النجاح p؛ ويكون لعدد النجاحات متوسط np وتباين np(1-p). ينشأ توزيع بواسون كحد لتوزيع ذي الحدين عندما يكون n كبيرًا و p صغيرًا بينما يظل حاصل ضربهما (العدد المتوقع) معتدلاً، لذا فهو ينمذج الأحداث النادرة على مدى العديد من الفرص؛ وله معلمة واحدة تساوي متوسطه وتباينه، مما يعكس الأحداث التي تحدث بمعدل ثابت. عندما يكون n كبيرًا، أو عندما يكون متوسط بواسون كبيرًا، يمكن تقريب كلا التوزيعين بتوزيع طبيعي، وهذا هو السبب في أن طرق النسب والمعدلات غالبًا ما تستعير فترات الثقة والاختبارات القائمة على التوزيع الطبيعي. في البحوث الصحية، يكمن توزيع ذي الحدين وراء تحليل النسب، مثل عدد المرضى الذين يستجيبون للعلاج، بينما يكمن توزيع بواسون وراء التعدادات ومعدلات الإصابة، مثل عدد الحالات الجديدة في مجتمع ما على مدى فترة.
Clinical relevance
تعتبر نماذج ذي الحدين وبواسون أساس تحليل النسب ومعدلات الأحداث المبلغ عنها في جميع أنحاء الأدبيات الصحية، لذا فإن التعرف على النموذج المناسب يساعد في القراءة النقدية للنتائج المتعلقة بمعدلات الاستجابة وانتشار الأمراض. هذا المدخل منهجي ولا يوجه الرعاية الفردية.
Epidemiology
توزيع بواسون هو النموذج الطبيعي لتعداد الأحداث النادرة نسبيًا التي تتراكم على مدى فترة زمنية للشخص، وبالتالي فهو أساسي لتحليل معدلات الإصابة في علم الأوبئة؛ بينما يكمن توزيع ذي الحدين وراء تحليل المخاطر والنسب، مثل معدل الإصابة التراكمي في مجموعة مغلقة.
History
درس جاكوب برنولي توزيع ذي الحدين في تحليله للتجارب المتكررة الذي نُشر عام 1713، واشتق دي موافر لاحقًا تقريبه الطبيعي. قدم سيميون دينيس بواسون التوزيع الذي يحمل اسمه عام 1837 كحد لتوزيع ذي الحدين للأحداث النادرة. أصبح كلاهما أدوات قياسية لنمذجة التعدادات عندما طُبق الإحصاء على الطب والصحة العامة.
Key figures
- Jacob Bernoulli
- Siméon Denis Poisson
- Abraham de Moivre
Related topics
Seminal works
- rosner-2015
- armitage-2002
- ross-2014
Frequently asked questions
- كيف أعرف ما إذا كان يجب علي استخدام نموذج ذي الحدين أو بواسون؟
- استخدم توزيع ذي الحدين عندما يكون هناك عدد ثابت من التجارب المستقلة بنعم/لا وتحسب النجاحات؛ استخدم توزيع بواسون عندما تحسب الأحداث التي تحدث على مدى فترة زمنية أو مساحة مستمرة بمعدل ثابت تقريبًا، مع عدم وجود عدد ثابت من التجارب.
- لماذا يتساوى متوسط توزيع بواسون مع تباينه؟
- ينبع ذلك من بنية التوزيع كحد لتوزيع ذي الحدين للأحداث النادرة؛ هذا التساوي هو أيضًا فحص عملي، حيث أن بيانات التعداد التي يتجاوز تباينها متوسطها بكثير (التباين الزائد) قد لا تتناسب مع نموذج بواسون بسيط.