刚性常微分方程与稳定性

刚性微分方程包含在时间尺度上差异很大的演化过程，因此显式方法为了保持稳定性，被迫采用不切实际的微小步长；其高效求解需要具有强稳定性性质的隐式方法。

Definition

当一个微分方程的解分量在非常不同的时间尺度上衰减，以至于数值稳定性而非精度决定了步长时，该微分方程被称为刚性方程；稳定性理论分析了哪些方法可以在不导致误差增长的情况下采取大步长。

Scope

本主题涵盖了刚性现象及其非正式定义、线性测试方程和绝对稳定性区域、A-稳定性、A(alpha)-稳定性和L-稳定性的概念、显式方法在刚性问题上失效的原因，以及求解这些问题的隐式方法——隐式Runge-Kutta方法和后向差分公式。

Core questions

• 什么使问题变得刚性，以及为什么它会使显式方法失效？
• 绝对稳定性区域是如何通过线性测试方程定义的？
• A-稳定性和L-稳定性要求什么，为什么它们对刚性问题很重要？
• 哪些方法为刚性系统和微分代数系统提供了所需的稳定性？

Key theories

绝对稳定性与测试方程

将一种方法应用于标量线性测试方程会产生一个放大因子；当该放大因子的幅值不大于1时，步长乘以特征值的乘积集合就是该方法的绝对稳定性区域，该区域必须包含问题的刚性特征值才能允许大步长。

A-稳定性与L-稳定性

如果一个方法的稳定性区域包含整个左半平面，则称其为A-稳定的，因此无论步长如何，它对所有衰减模式都稳定；如果它还能完全抑制非常刚性的模式，则称其为L-稳定的；这些性质突出了适用于刚性问题的隐式方法。

Mechanisms

在刚性问题中，衰减最快的模式具有较大的负特征值；显式方法的有界稳定性区域迫使步长必须解析该模式，即使该模式在物理上早已消失，这使得计算速度慢得令人绝望。隐式方法，如后向欧拉法、隐式Runge-Kutta格式和后向差分公式，其稳定性区域覆盖了左半平面（或大部分），因此它们在大步长下仍保持稳定，并允许仅由精度来选择步长。每一步都需要求解一个（通常是非线性的）代数系统，通常通过使用雅可比矩阵的牛顿迭代法来完成。

Clinical relevance

刚性在化学反应网络、燃烧、电路、控制系统以及抛物型偏微分方程的线法离散化中普遍存在；识别刚性并选择适当稳定的隐式求解器对于在可行时间内获得结果至关重要，并且大多数生产型常微分方程软件都包含自动刚性检测和切换功能。

History

刚性概念由Curtiss和Hirschfelder于1952年提出，而支持性的稳定性理论——A-稳定性和阶数障碍——由Dahlquist发展；Gear的后向差分公式代码以及后来的高阶隐式Runge-Kutta方法为刚性问题和微分代数问题建立了实用的工具包。

Key figures

• Germund Dahlquist
• C. William Gear
• Ernst Hairer
• Gerhard Wanner

Seminal works

• hairer1996
• iserles2008

Frequently asked questions

究竟是什么让常微分方程变得刚性？

当系统中的分量衰减速度远快于感兴趣的解的演化速度时，就会出现刚性。没有一个单一的明确定义，但实际的特征是，即使精度允许大步长，显式方法为了稳定性也被迫使用非常小的步长。

为什么刚性问题需要隐式方法？

隐式方法可以拥有覆盖整个左半平面（A-稳定性）的稳定性区域，因此它们在快速衰减模式下仍能在大步长下保持稳定。显式方法具有有界稳定性区域，这迫使它们采用微小步长，使其不适用于刚性问题。