如果奇异积分的核不可积，如何定义它？

它被定义为主值，即在围绕奇点的小球外部区域进行积分，并取小球收缩时的极限；核的对称性使得这个极限存在。

为什么奇异积分算子对微分方程很重要？

求解椭圆方程通常将解的二阶导数表示为数据的奇异积分，因此这些算子的Lp有界性提供了使解理论奏效的正则性估计。

奇异积分算子由过于奇异而无法直接积分的核定义，然而，正如Calderon-Zygmund理论所示，它们在Lp空间上保持有界，将调和分析与微分方程联系起来。

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奇异积分算子是一种卷积型算子，其核不是绝对可积的，必须解释为主值；Calderon-Zygmund理论给出了此类算子在Lp空间上有界的条件。

本主题涵盖了直线上的希尔伯特变换和高维空间中的Riesz变换、奇异核的主值定义、Calderon-Zygmund分解、指数为1时的弱型估计及其导致的Lp有界性、极大函数的作用以及在椭圆正则性方面的应用。

Calderon-Zygmund定理: 一个具有标准奇异核且在平方可积函数上是有界的算子，对于严格介于1和无穷大之间的所有Lp指数都是有界的，并且在1处是弱型的，这是该理论的核心有界性结果。
希尔伯特变换和Riesz变换的有界性: 直线上的希尔伯特变换和欧几里得空间上的Riesz变换，作为原型奇异积分，在Lp空间上对于所有指数范围都是有界的，控制着共轭函数和偏导数。

奇异积分算子提供了建立椭圆和抛物型偏微分方程解的正则性的估计，控制着调和函数和解析函数的边界行为，并构成了图像处理和断层扫描算子的基础，其中数据通过奇异核与其源相关联。

希尔伯特变换起源于20世纪早期复分析中的边值问题。Calderon和Zygmund在他们1952年的里程碑式论文中创立了奇异积分的一般理论，Stein和其他人将其扩展为现代分析的核心支柱。