基本群与覆盖空间
基本群记录了空间中环路如何能够或不能收缩，而覆盖空间理论则将其子群转化为围绕原始空间的完整几何字典。
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Definition
带基点的空间的基本群是一个群，其元素是基于该点的环路的同伦类，以连接作为运算；覆盖空间是一种映射，它在局部是基空间副本的平凡堆叠，其理论将此类映射与基本群的子群联系起来。
Scope
本主题介绍了路径的同伦、作为基于一点的环路类群的基本群，以及通过 van Kampen 定理计算基本群的方法。它发展了覆盖空间、提升准则，以及基本群子群与连通覆盖（包括万有覆盖和变换群）之间的伽罗瓦式对应关系。其中还包括圆的覆盖分类以及图和曲面的基本群计算等应用。
Core questions
- 基本群如何检测阻止环路收缩的“孔洞”？
- van Kampen 定理如何从重叠部分的群构建空间的整个基本群？
- 连通覆盖空间与基本群的子群之间存在怎样的精确对应关系？
- 映射何时可以通过覆盖提升，万有覆盖在此过程中扮演什么角色？
Key concepts
- 路径同伦与环路连接
- 基本群及其在保持基点映射下的函子性
- van Kampen 定理
- 覆盖空间、提升准则与变换群
- 万有覆盖与覆盖的伽罗瓦对应
Clinical relevance
基本群是第一个也是最易于理解的代数不变量，它区分了圆盘和圆，并支撑着单值性、黎曼曲面理论以及平坦丛的分类；覆盖空间理论是伽罗瓦理论和群作用商空间的拓扑模型。
History
庞加莱在《位置分析》(Analysis Situs, 1895) 中引入了基本群；20世纪30年代的 Seifert-van Kampen 定理使其可以通过粘合进行计算；通过变换群形式化的覆盖与子群之间的系统对应关系，建立了与伽罗瓦理论的类比，这在课程中已成为标准。
Key figures
- Henri Poincaré
- Egbert van Kampen
- Allen Hatcher
Related topics
Seminal works
- hatcher2002
- bredon1993
Frequently asked questions
- 为什么圆的基本群是整数？
- 圆上的一个环路通过其绕行次数（带方向符号）进行同伦分类；这个绕行数在连接下是可加的，从而与整数形成同构。
- 什么是万有覆盖？
- 它是（合适）空间的单连通覆盖空间；它在覆盖空间字典中对应于平凡子群，并将其基本群作为其变换群。