上同调

上同调将同调对偶化，为空间分配上链，并关键地带有一个环结构——杯积——它能区分仅凭同调无法区分的空间。

Definition

上同调将一个空间映射到一系列阿贝尔群，这些群是通过奇异链复形的对偶上链复形中的循环模边界获得的；通过杯积，它形成一个分次交换环，是比同调更精细的不变量。

Scope

本主题将上同调发展为对偶上链复形的同调，通过泛系数定理与同调相关联，并增加了由杯积给出的乘法结构，使总上同调成为一个分次环。它涵盖了光滑流形上的德拉姆上同调及其通过德拉姆定理与奇异上同调的识别，杯积和帽积，以及将有向闭流形的上同调与其同调联系起来的庞加莱对偶性。其中还包括Künneth定理和示性类应用。

Core questions

• 上同调如何通过泛系数定理与同调相关联？
• 除了底层群之外，杯积环结构还编码了哪些额外信息？
• 庞加莱对偶性如何将有向闭流形的上同调和同调联系起来？
• 为什么德拉姆定理将光滑微分形式上同调与拓扑上同调等同起来？

Key concepts

• 上链复形和泛系数定理
• 杯积和上同调环
• 帽积和庞加莱对偶性
• 德拉姆上同调和德拉姆定理
• 乘积的Künneth定理

Clinical relevance

上同调环是示性类、障碍理论和交积的自然归宿，这使得上同调在微分几何、纤维丛拓扑和数学物理中的规范理论中占据核心地位。

History

上同调在20世纪30年代从德拉姆、Čech、Alexander和Kolmogorov的工作中兴起；Whitney等人引入的杯积揭示了同调无法察觉的乘法结构，德拉姆定理将光滑理论和拓扑理论联系起来，确立了上同调的核心作用。

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

如果同调已经能检测孔洞，为什么还要使用上同调？

上同调通过杯积带有一个同调所缺乏的环结构；具有相同同调群的空间可以有不同的上同调环，因此上同调是一个严格更精细的不变量。

庞加莱对偶性说明了什么？

对于一个有向闭n流形，k阶上同调与(n-k)阶同调同构；从几何上看，它通过交集将循环与互补维度的循环配对。