连通性

连通性是指一个空间是整体的——它不能被分成两个不相交的非空开放部分——并且是介值定理成立的拓扑原因。

Definition

一个拓扑空间如果不能表示为两个不相交的非空开集的并集，则称其为连通的；如果其任意两点都可以通过一条连续路径连接，则称其为路径连通的。

Scope

本主题定义了连通性及其相关的、更强的路径连通性概念，以及它们的局部版本（局部连通性、局部路径连通性）。它涵盖了连通分支和路径分支，连通性在连续像、乘积和并集下的行为，以及区分连通和路径连通的标准分离示例，例如拓扑学家的正弦曲线。其中也包括介值定理推广到连通空间的内容。

Core questions

• 连通性与路径连通性之间的精确区别是什么，它们何时重合？
• 连通分支如何划分任意空间，以及它们为何是闭集？
• 为什么连通空间的连续像仍然是连通的，以及这如何推广介值定理？
• 局部连通性和局部路径连通性如何控制分支的结构？

Key concepts

• 连通空间和不连通空间
• 路径连通性和路径分支
• 连通分支和准分支
• 局部连通性和局部路径连通性
• 作为连通性陈述的介值定理

Clinical relevance

连通性是计算空间组成部分的基础，是同伦和同调的零度阴影；路径连通性是良好定义的同伦群的先决条件，将一般拓扑学与代数拓扑学联系起来。

History

空间是整体的直观概念在20世纪早期随着拓扑空间公理化而变得精确；连通性与路径连通性的仔细区分，通过拓扑学家的正弦曲线等例子加以说明，成为点集拓扑学课程的标准组成部分。

Key figures

• Camille Jordan
• Felix Hausdorff
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

连通是否意味着路径连通？

不。拓扑学家的正弦曲线是连通的但不是路径连通的。反之则成立：每个路径连通空间都是连通的。

连通分支和路径连通分支何时相同？

在局部路径连通空间中，连通分支和路径分支重合且是开集，这就是流形和欧几里得空间的开子集行为如此简单的原因。