有限体积法

有限体积法通过将计算域划分为控制体积，并根据穿过其边界的通量更新每个体积内的平均值来离散守恒定律，从而在构建上守恒质量、动量和能量。

Definition

有限体积法是对守恒定律的一种离散化方法，它存储每个控制体积上解的平均值，并通过平衡穿过体积边界的数值通量来演化这些平均值，从而使离散格式在局部和全局上都具有守恒性。

Scope

本主题涵盖偏微分方程的积分（守恒）形式、单元平均未知量和数值通量函数、Godunov方法和近似黎曼求解器、采用斜率限制器抑制激波附近虚假振荡的高分辨率格式，以及有限体积法在计算流体动力学中的作用。

Core questions

• 为什么从积分守恒形式出发能使该方法本质上具有守恒性？
• 单元界面处的数值通量是如何定义的？什么使通量具有一致性和稳定性？
• Godunov型格式和黎曼求解器如何捕捉激波等不连续性？
• 高分辨率方法如何避免高阶格式在不连续性附近的振荡？

Key theories

守恒与数值通量

通过使用相邻单元之间共享的单一数值通量更新单元平均值，该方法精确守恒了基本量；通量与真实通量的一致性以及适当的稳定性条件使得收敛到守恒定律的弱解。

Godunov方法和黎曼求解器

Godunov方法将每个单元界面视为一个局部黎曼问题，其（精确或近似）解定义了通量，从而使该格式能够清晰准确地捕捉激波和接触不连续性。

高分辨率格式和限制器

为了克服基本Godunov格式的一阶精度而不引入虚假振荡，高分辨率方法重建更高阶的界面状态，并应用斜率或通量限制器，在不连续性附近强制执行总变差递减特性。

Mechanisms

将守恒定律在控制体积上积分，将空间导数转换为表面通量，因此单元平均值的变化率等于穿过其表面的净通量。由于相邻单元共享每个表面通量，离开一个单元的任何物质都会进入其相邻单元，因此总量被精确守恒。界面通量通过精确或近似求解由两侧不同状态引起的黎曼问题来计算；这可以捕捉波结构和不连续性。高分辨率变体首先在每个单元内重建更高阶的剖面，并对其进行限制以防止出现新的极值，从而在平滑区域实现二阶精度，同时在激波处保持无振荡。

Clinical relevance

有限体积法是计算流体动力学中的标准离散化方法，对于模拟可压缩和不可压缩流、空气动力学、激波和爆轰现象、浅水流、大气和海洋流以及多孔介质和油藏模拟至关重要，这正是因为它们尊重物理守恒定律并能稳健处理不连续性。

History

基于守恒和黎曼问题的Godunov方法起源于1959年的Godunov格式；在1970年代和1980年代，van Leer、Harten和其他人开发了高分辨率、总变差递减方法和限制器，使有限体积法成为可压缩流和其他双曲守恒定律的主导框架。

Key figures

• Sergei Godunov
• Peter Lax
• Bram van Leer
• Randall J. LeVeque
• Eleuterio Toro

Seminal works

• leveque2002
• toro2009

Frequently asked questions

为什么有限体积法是守恒的？

它们使用相邻单元之间共享的通量来更新单元平均值，因此离开一个单元的任何量都精确地进入相邻单元。对整个计算域求和，总量仅通过计算域边界发生变化，这反映了物理守恒定律。

为什么在激波附近需要限制器？

普通的高阶格式在不连续性附近会产生虚假振荡（过冲和欠冲）。斜率和通量限制器检测陡峭的梯度，并在局部降低重建阶数，从而保持解的单调性和无振荡，同时在平滑区域保持精度。