有限元和网格场求解器

在复杂几何形状上求解经典场方程意味着将空间划分为单元或网格单元，并求解离散方程，这是计算电磁学、结构力学和连续介质物理学背后的方法。

Definition

有限元和网格场求解器是数值方法，通过在单元或网格单元的网格上用局部基函数表示场来近似偏微分场方程的解，从而产生一个需要求解的大型代数系统。

Scope

本主题涵盖经典连续介质场问题的基于网格的求解：有限元方法及其在非结构化网格上的弱形式和基函数，有限差分和有限体积替代方法，以及由此产生的大型稀疏线性系统的组装和求解。它解决了通用几何形状上的静态和时变场问题。

Core questions

• 有限元方法如何通过弱形式将场方程转化为代数系统？
• 非结构化网格上的基函数如何表示场？
• 有限元、有限差分和有限体积方法之间有何比较？
• 如何组装和求解由此产生的大型稀疏系统？

Key theories

弱形式和伽辽金方法

场方程被重新表述为积分弱形式，解通过局部基函数展开，伽辽金条件为节点值生成一个稀疏线性系统。

非结构化网格划分

有限元用三角形或四面体平铺任意几何形状，允许在场变化迅速的地方进行局部细化，并自然处理规则网格无法处理的复杂边界。

稀疏系统组装和求解

单元贡献被组装成一个全局稀疏刚度矩阵，并通过直接或迭代稀疏求解器求解线性系统来找到场。

Clinical relevance

有限元和网格求解器计算电磁场、结构中的应力和变形、传热和流体流动，是计算电磁学、结构力学和工程物理学的基础。

History

有限元方法起源于20世纪50年代和60年代的结构工程，其数学根源在于库朗（Courant）早期的变分工作，并随着计算能力和网格划分工具的成熟而扩展到电磁学、传热和流体动力学。

Key figures

• Olgierd Zienkiewicz
• Richard Courant
• Jian-Ming Jin

Seminal works

• zienkiewicz2013
• jin2014

Frequently asked questions

与有限差分相比，何时优先选择有限元？

有限元在复杂或弯曲的几何形状以及需要局部网格细化的情况下表现出色，因为它们可以用非结构化网格平铺任意形状。有限差分在规则网格和简单域上更简单高效。

什么是弱形式？

它是微分方程的积分、平均重述，要求解满足方程对测试函数的要求，而不是在每个点上都满足。这放宽了光滑性要求，是使有限元方法奏效的数学基础。