欧拉方程与旋转运动

欧拉方程以刚体自身的主轴坐标系表达其旋转动力学，描述了角速度在所施加力矩作用下如何演变。

Definition

欧拉方程是三个耦合微分方程，以固连在物体上的主轴坐标系表示，它们将所施加力矩的分量与旋转刚体主轴角速度的变化率联系起来。

Scope

本主题涵盖了刚体坐标系中的欧拉三方程、欧拉角对物体姿态的描述、对称陀螺和非对称陀螺的无力矩运动，以及绕主轴旋转的稳定性，包括中间轴定理。它是刚体旋转的动力学核心。

Core questions

• 为什么欧拉方程是写在旋转的物体坐标系中而不是实验室坐标系中？
• 欧拉角如何参数化物体在空间中的姿态？
• 为什么绕中间主轴的旋转是不稳定的？

Key concepts

• 欧拉方程
• 物体坐标系与空间坐标系
• 欧拉角
• 对称陀螺和非对称陀螺
• 中间轴不稳定性
• 无力矩运动

Key theories

欧拉运动方程

在主轴物体坐标系中，每个力矩分量等于相应的主惯量乘以角加速度，再加上一个耦合其他两个分量的陀螺项，从而得到三个耦合方程。

自由旋转的稳定性（中间轴定理）

绕最大和最小转动惯量轴的无力矩旋转是稳定的，而绕中间轴的旋转是不稳定的，会产生翻滚的网球拍效应。

Clinical relevance

欧拉方程和姿态参数化是航天器和飞行器姿态动力学、翻滚卫星和弹丸分析、机器人姿态控制以及不稳定旋转预测的基础，其中中间轴效应是自由落体中旋转物体已知的危险。

History

欧拉在18世纪中叶推导了他的旋转运动方程，并引入了用于指定物体姿态的角度。泊松（Poinsot）提供了无力矩运动的几何构造，而欧拉、拉格朗日以及后来的科瓦列夫斯卡娅（Kovalevskaya）的可解案例成为陀螺理论中的经典里程碑。

Key figures

• Leonhard Euler
• Louis Poinsot
• Joseph-Louis Lagrange

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

什么是网球拍效应或中间轴效应？

物体绕其中间主轴旋转时会不稳定，周期性地翻转，因为小的扰动会增长；相比之下，绕最大或最小转动惯量轴的旋转是稳定的。

为什么欧拉方程要使用物体坐标系？

在物体坐标系中，惯性张量是常数且沿主轴对角化，这使得方程保持简单；代价是由于坐标系的旋转而出现陀螺耦合项。