完全类定理

完全类是一组足够丰富的决策规则，以至于其之外的任何规则都不值得使用；完全类定理将这些集合与贝叶斯规则及其极限等同起来。

Definition

如果对于其之外的每个规则，都存在一个其之内风险一致不大于该规则的规则，则称该决策规则类是完全的；完全类定理表明，可容许规则本质上与贝叶斯规则及其极限一致。

Scope

本主题涵盖决策规则的完全类和本质完全类，驱动该理论的风险集的凸性和紧致性，即每个可容许规则都是贝叶斯规则或其极限的结果，以及在温和条件下贝叶斯规则是可容许规则的逆命题，瓦尔德的完全类定理和斯坦的充要条件，以及将注意力限制在贝叶斯规则上的实际结果。

Core questions

• 完全类与本质完全类有何区别？
• 为什么风险集的凸性使得贝叶斯规则成为核心？
• 从何种意义上说，每个可容许规则都是贝叶斯规则或极限贝叶斯规则？
• 完全类定理如何证明将注意力限制在贝叶斯规则上的合理性？

Key theories

可容许性的贝叶斯刻画

在风险集的凸性和紧致性条件下，贝叶斯规则及其极限的类别是完全的，因此每个可容许规则都是贝叶斯规则或贝叶斯规则的极限。

瓦尔德和斯坦完全类定理

瓦尔德为统计博弈建立了第一个完全类结果，斯坦给出了一个类是完全类的充要条件，从而加强了可容许性与贝叶斯最优性之间的联系。

Clinical relevance

完全类定理为贝叶斯程序提供了频率论的 обоснование：因为可容许规则本质上是贝叶斯规则，所以在贝叶斯规则中搜索不会有任何损失，这就是为什么即使在非贝叶斯标准下，贝叶斯和正则化估计器也是合理的默认选择。

History

瓦尔德在他1950年关于统计决策函数的书中证明了第一个完全类定理。布莱克韦尔、斯坦和勒卡姆在20世纪50年代完善了这些条件，建立了现在可容许性与贝叶斯最优性之间的标准等价关系。

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• berger1985

Frequently asked questions

完全类定理的实际用途是什么？

它告诉您，您可以将寻找良好规则的范围限制在贝叶斯规则及其极限之内，而不会遗漏任何可容许的规则，这简化了理论和程序的构建。

这是否意味着每个好的规则都是贝叶斯规则？

在决策理论框架内，本质上是的：在标准条件下，每个可容许规则都是贝叶斯规则或其极限，尽管相关的先验可能是不恰当的，或者只作为极限出现。