紧致性定理和勒文海姆-斯科伦定理

紧致性定理和勒文海姆-斯科伦定理是支配一阶理论可以描述哪些结构的两项基本结果，揭示了一阶逻辑的力量和内在局限性。

Definition

紧致性定理指出，一阶语句集是可满足的当且仅当其每个有限子集是可满足的；勒文海姆-斯科伦定理指出，任何具有无限模型的一阶理论，在其语言的基数至少是其语言基数的每个无限基数下都存在模型。

Scope

本主题涵盖紧致性定理及其通过完备性或超积的证明、关于模型基数的向下和向上勒文海姆-斯科伦定理、它们的标准推论（包括算术和分析的非标准模型的存在性）以及斯科伦悖论。

Core questions

• 为什么理论的有限可满足性保证存在模型？
• 这些定理如何产生算术和实数的非标准模型？
• 为什么没有一阶理论能够根据基数来刻画无限结构？
• 什么是斯科伦悖论，以及如何解决？

Key theories

紧致性定理

如果语句集的每个有限子集都有模型，那么整个集合就有模型；它源于完备性，也可以通过超积在语义上证明。

向下勒文海姆-斯科伦定理

任何无限结构都存在一个基数至多为其语言基数的初等子结构，因此具有无限模型的可数理论具有可数模型。

向上勒文海姆-斯科伦定理

任何无限模型都可以初等地扩展到每个更大基数的模型，因此一阶理论不能固定其无限模型的大小。

Clinical relevance

这些定理是模型论的主力：紧致性用于构建非标准模型以证明或转移结果，而勒文海姆-斯科伦定理解释了为什么自然数或实数的一阶公理化总是允许非预期模型，从而影响了逻辑框架的选择。

History

勒文海姆于1915年证明了向下定理的一个版本，斯科伦在20世纪20年代通过推广和完善使其更加精确。哥德尔将紧致性作为完备性的推论获得，马尔采夫将其扩展到不可数语言，他首次利用它推导出代数定理，为应用模型论开辟了道路。

Key figures

• Leopold Loewenheim
• Thoralf Skolem
• Kurt Goedel
• Anatoly Maltsev

Seminal works

• changkeisler1990
• marker2002
• hodges1993

Frequently asked questions

什么是算术的非标准模型？

通过紧致性，可以在算术公理中添加一个比每个数词都大的常数；由此产生的一致理论包含一个模型，该模型包含超出标准自然数的无限元素。这些模型满足与标准模型完全相同的一阶语句。

什么是斯科伦悖论？

向下勒文海姆-斯科伦定理给出了集合论的一个可数模型，尽管该理论证明存在不可数集。解决方案是不可数性是相对于模型的：模型认为不可数的集合在模型内部没有与自然数的双射，尽管在外部存在一个双射。