Các quá trình tái tạo

Một quá trình tái tạo chứa các thời điểm ngẫu nhiên mà tại đó nó bắt đầu lại một cách độc lập với quá khứ của nó, chia sự tiến hóa của nó thành các chu kỳ độc lập và phân phối giống hệt nhau.

Definition

Một quá trình tái tạo là một quá trình ngẫu nhiên sở hữu các kỷ nguyên tái tạo ngẫu nhiên, tạo thành một quá trình đổi mới, sao cho các phân đoạn giữa các kỷ nguyên liên tiếp là độc lập và phân phối giống hệt nhau, do đó quá trình khởi động lại một cách xác suất tại mỗi kỷ nguyên.

Scope

Chủ đề này bao gồm các kỷ nguyên và chu kỳ tái tạo, định lý đổi mới-phần thưởng thể hiện các giá trị trung bình dài hạn dưới dạng phần thưởng kỳ vọng trên mỗi chu kỳ chia cho độ dài chu kỳ kỳ vọng, sự tồn tại của các phân phối dừng theo thời gian giới hạn, phương pháp tái tạo cho mô phỏng trạng thái ổn định và khoảng tin cậy, và mối liên hệ giữa tái tạo và cấu trúc đổi mới của các quá trình Markov.

Core questions

• Các kỷ nguyên tái tạo là gì và chúng phân chia một quá trình thành các chu kỳ độc lập như thế nào?
• Định lý đổi mới-phần thưởng đưa ra các giá trị trung bình dài hạn từ một chu kỳ duy nhất như thế nào?
• Khi nào một quá trình tái tạo có phân phối giới hạn?
• Tái tạo được khai thác như thế nào cho mô phỏng và suy luận trạng thái ổn định?

Key theories

Định lý đổi mới-phần thưởng

Đối với một quá trình tái tạo, giá trị trung bình dài hạn của một phần thưởng tích lũy theo thời gian bằng phần thưởng kỳ vọng kiếm được trong một chu kỳ chia cho độ dài kỳ vọng của một chu kỳ, giảm các tính toán trung bình theo thời gian xuống một chu kỳ tái tạo duy nhất.

Phân phối giới hạn của các quá trình tái tạo

Khi phân phối độ dài chu kỳ không phải là mạng lưới và có giá trị trung bình hữu hạn, một quá trình tái tạo hội tụ trong phân phối đến một luật dừng theo thời gian được cho bởi thời gian chiếm dụng kỳ vọng trên mỗi chu kỳ, điều này thiết lập sự tồn tại trạng thái ổn định cho nhiều hàng đợi và chuỗi Markov.

Clinical relevance

Tái tạo cung cấp một cách thống nhất để chứng minh các kết quả trạng thái ổn định cho hàng đợi, hệ thống tồn kho và các quá trình Markov, và phương pháp tái tạo đưa ra các khoảng tin cậy chặt chẽ trong mô phỏng sự kiện rời rạc bằng cách coi các giá trị trung bình chu kỳ là các mẫu độc lập.

History

Quan điểm tái tạo được Smith trình bày vào những năm 1950 như một phần mở rộng của lý thuyết đổi mới, và ứng dụng của nó vào mô phỏng trạng thái ổn định thông qua phương pháp tái tạo được Crane và Iglehart phát triển vào những năm 1970, trở thành một công cụ tiêu chuẩn trong xác suất ứng dụng và phân tích hiệu suất.

Key figures

• Walter Smith
• Soren Asmussen
• Donald Iglehart

Seminal works

• asmussen2003

Frequently asked questions

Điều gì làm cho một quá trình có khả năng tái tạo?

Nó có các thời điểm ngẫu nhiên mà tại đó nó khởi động lại một cách độc lập với lịch sử của nó, do đó các phần giữa các kỷ nguyên tái tạo này là các chu kỳ độc lập và phân phối giống hệt nhau.

Tại sao các quá trình tái tạo hữu ích trong mô phỏng?

Bởi vì các chu kỳ là độc lập, các giá trị trung bình trên các chu kỳ hoạt động như các mẫu độc lập, cho phép các khoảng tin cậy hợp lệ cho các đại lượng trạng thái ổn định mà không cần giả định một phân phối cụ thể.