Các Phân phối Xác suất Phổ biến

Một danh mục nhỏ các họ phân phối, bao gồm nhị thức, Poisson, hình học, đều, chuẩn, mũ và gamma, thường xuyên xuất hiện trong xác suất và thống kê vì mỗi loại đều phát sinh từ một cơ chế tạo ra đơn giản và thường gặp.

Definition

Các phân phối xác suất phổ biến là các họ luật tham số tiêu chuẩn, mỗi loại được định nghĩa bởi một hàm khối xác suất hoặc hàm mật độ với một vài tham số, mô hình hóa các mẫu ngẫu nhiên thường gặp nhất và đóng vai trò là các khối xây dựng của các mô hình xác suất.

Scope

Chủ đề này bao gồm các họ rời rạc chính như Bernoulli, nhị thức, hình học, nhị thức âm và Poisson, cùng với các họ liên tục chính như đều, mũ, gamma, beta và chuẩn, cùng với các cơ chế tạo ra, các mô men và hàm đặc trưng của chúng, cũng như các mối quan hệ giới hạn và cấu trúc kết nối chúng.

Core questions

• Cơ chế tạo ra nào dẫn đến mỗi phân phối tiêu chuẩn?
• Các họ rời rạc và liên tục có mối quan hệ như thế nào thông qua các giới hạn và phép biến đổi?
• Các mô men và hàm đặc trưng của các họ tiêu chuẩn là gì?
• Tại sao phân phối chuẩn lại chiếm một vị trí trung tâm trong số đó?

Key concepts

• Bernoulli và nhị thức
• Poisson và mũ
• các họ gamma và beta
• phân phối chuẩn
• mối quan hệ giữa các họ

Key theories

Giới hạn Poisson của phân phối nhị thức

Khi số lượng thử nghiệm độc lập tăng lên trong khi xác suất thành công giảm xuống sao cho số lượng thành công kỳ vọng không đổi, phân phối nhị thức hội tụ về phân phối Poisson, giải thích tại sao số lượng sự kiện hiếm lại tuân theo phân phối Poisson.

Phân phối chuẩn như một giới hạn phổ quát

Phân phối chuẩn phát sinh như là luật giới hạn của tổng chuẩn hóa của nhiều đóng góp nhỏ độc lập, đó là lý do tại sao nó mô hình hóa sai số đo lường và các đại lượng tổng hợp và đóng vai trò là phân phối tham chiếu của thống kê cổ điển.

Clinical relevance

Các họ này là các mô hình mặc định trong toàn bộ xác suất và thống kê ứng dụng: Poisson và mũ mô tả sự xuất hiện và thời gian sống trong độ tin cậy và xếp hàng, nhị thức và các phân phối liên quan mô tả số lượng thành công trong các thử nghiệm và khảo sát, và phân phối chuẩn là nền tảng của các mô hình sai số đo lường, khoảng tin cậy và phần lớn suy luận thống kê.

History

Các phân phối được đặt tên đã tích lũy qua ba thế kỷ: Bernoulli và de Moivre nghiên cứu số đếm và xấp xỉ chuẩn, Poisson đã suy ra luật của các sự kiện hiếm, và Gauss và Laplace đã thiết lập phân phối chuẩn cho các sai số. Cách xử lý hiện đại tổ chức chúng theo các cơ chế tạo ra và các mối quan hệ giới hạn của chúng.

Key figures

• Abraham de Moivre
• Simeon Denis Poisson
• Carl Friedrich Gauss
• Jacob Bernoulli

Seminal works

• feller1968

Frequently asked questions

Tại sao phân phối chuẩn lại xuất hiện thường xuyên như vậy?

Bởi vì định lý giới hạn trung tâm làm cho nó trở thành phân phối giới hạn của tổng chuẩn hóa của nhiều hiệu ứng nhỏ độc lập, do đó bất kỳ đại lượng nào được xây dựng từ nhiều đóng góp tương đương có xu hướng xấp xỉ chuẩn bất kể chi tiết.

Phân phối mũ và Poisson được kết nối như thế nào?

Chúng mô tả cùng một quá trình từ hai góc độ: trong một quá trình Poisson, số lượng sự kiện trong một khoảng thời gian cố định tuân theo phân phối Poisson trong khi thời gian chờ đợi giữa các sự kiện tuân theo phân phối mũ.