Tại sao phương trình Euler-Lagrange chỉ là một điều kiện cần?

Nó xác định các hàm số mà tại đó phiếm hàm dừng, tương tự như một điểm tới hạn, nhưng điểm đó có thể là cực tiểu, cực đại hoặc không phải cả hai. Việc xác định điều này đòi hỏi phải kiểm tra biến phân bậc hai hoặc áp dụng các lập luận về tính lồi hoặc phương pháp trực tiếp.

Điều kiện biên tự nhiên là gì?

Khi các điểm cuối của các hàm cạnh tranh không cố định, việc yêu cầu biến phân bậc nhất triệt tiêu sẽ buộc một điều kiện bổ sung tại các điểm cuối đó, được suy ra từ các số hạng biên. Các điều kiện biên tự nhiên này tự động xuất hiện từ nguyên lý biến phân chứ không phải do bị áp đặt.

Phương trình Euler-Lagrange

Phương trình Euler-Lagrange là phương trình vi phân mà bất kỳ hàm số nào cực trị hóa một phiếm hàm tích phân đều phải thỏa mãn, đây là điều kiện cần thiết trung tâm của phép tính biến phân.

Tìm chủ đề với PaperMindSắp ra mắtFind papers & topics

Tools & resources

Tải xuống bản trình chiếu

Learn & explore

VideoSắp ra mắt

Definition

Đối với một phiếm hàm được cho bởi tích phân của một hàm Lagrange phụ thuộc vào một hàm số và đạo hàm của nó, phương trình Euler-Lagrange phát biểu rằng đạo hàm riêng của hàm Lagrange theo hàm số bằng đạo hàm theo biến độc lập của đạo hàm riêng của nó theo đạo hàm của hàm số.

Scope

Chủ đề này bao gồm biến phân bậc nhất của một phiếm hàm và điều kiện triệt tiêu của nó, việc suy ra phương trình Euler-Lagrange, bổ đề cơ bản của phép tính biến phân, điều kiện biên tự nhiên và thiết yếu, các tích phân bậc nhất như đồng nhất thức Beltrami, và các khái quát hóa cho nhiều hàm số, đạo hàm bậc cao hơn và tích phân bội.

Core questions

Một cực trị của một phiếm hàm phải thỏa mãn phương trình nào?
Điều kiện này được suy ra từ biến phân bậc nhất như thế nào?
Những điều kiện biên nào đi kèm với phương trình?
Khi nào các tích phân bậc nhất đơn giản hóa phương trình thu được?

Key theories

Biến phân bậc nhất và điều kiện dừng: Đặt biến phân bậc nhất của một phiếm hàm bằng 0 cho tất cả các nhiễu loạn cho phép, cùng với bổ đề cơ bản của phép tính biến phân, sẽ cho ra phương trình Euler-Lagrange.
Điều kiện biên tự nhiên: Khi các điểm cuối tự do thay vì cố định, biến phân bậc nhất triệt tiêu áp đặt các điều kiện biên tự nhiên bổ sung lên cực trị ngoài chính phương trình vi phân.
Các tích phân bậc nhất và đồng nhất thức Beltrami: Khi hàm Lagrange không phụ thuộc rõ ràng vào biến độc lập, một đại lượng bảo toàn, đồng nhất thức Beltrami, làm giảm phương trình bậc hai thành phương trình bậc nhất.

Clinical relevance

Phương trình Euler-Lagrange biến các nguyên lý biến phân thành các phương trình vi phân có thể giải được, tạo ra các phương trình chuyển động trong cơ học Lagrange, các phương trình trắc địa trong hình học, và các phương trình chi phối tính đàn hồi, quang học và lý thuyết trường.

History

Euler đã suy ra phương trình này một cách hình học vào năm 1744, và Lagrange đã trình bày lại việc suy ra thông qua phương pháp đại số biến phân của ông vào khoảng năm 1755, đặt cho phương trình này dạng và tên hiện đại. Noether sau đó đã liên hệ các đối xứng của hàm Lagrange với các đại lượng bảo toàn thông qua phương trình này.

Key figures

Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
Emmy Noether
Eugenio Beltrami

Seminal works

gelfand1963
courant1953

Frequently asked questions

Tại sao phương trình Euler-Lagrange chỉ là một điều kiện cần?: Nó xác định các hàm số mà tại đó phiếm hàm dừng, tương tự như một điểm tới hạn, nhưng điểm đó có thể là cực tiểu, cực đại hoặc không phải cả hai. Việc xác định điều này đòi hỏi phải kiểm tra biến phân bậc hai hoặc áp dụng các lập luận về tính lồi hoặc phương pháp trực tiếp.
Điều kiện biên tự nhiên là gì?: Khi các điểm cuối của các hàm cạnh tranh không cố định, việc yêu cầu biến phân bậc nhất triệt tiêu sẽ buộc một điều kiện bổ sung tại các điểm cuối đó, được suy ra từ các số hạng biên. Các điều kiện biên tự nhiên này tự động xuất hiện từ nguyên lý biến phân chứ không phải do bị áp đặt.