Định lý Noether và các đối xứng

Định lý Noether thiết lập rằng mọi đối xứng liên tục của tác dụng của một hệ thống tương ứng với một đại lượng được bảo toàn, mang lại cho các định luật bảo toàn một nguồn gốc cấu trúc sâu sắc.

Definition

Định lý Noether phát biểu rằng đối với mỗi đối xứng liên tục một tham số làm cho tác dụng bất biến, có một đại lượng tương ứng được bảo toàn trong suốt chuyển động của hệ thống.

Scope

Chủ đề này bao gồm phát biểu và ý nghĩa của định lý Noether đối với các hệ cơ học, sự ánh xạ của các đối xứng cụ thể tới các định luật bảo toàn cụ thể, bất biến tịnh tiến thời gian tới năng lượng, bất biến tịnh tiến không gian tới động lượng tuyến tính, và bất biến quay tới mômen động lượng, cũng như khái niệm chung về các nhóm đối xứng liên tục tác động lên một Lagrangian.

Core questions

• Đối với một đối xứng, việc làm cho tác dụng bất biến có nghĩa là gì?
• Những đại lượng bảo toàn nào tương ứng với đối xứng tịnh tiến, quay và tịnh tiến thời gian?
• Tại sao nguồn gốc đối xứng của các định luật bảo toàn lại quan trọng ngoài cơ học cổ điển?

Key concepts

• Đối xứng liên tục
• Bất biến của tác dụng
• Đại lượng bảo toàn (hằng số chuyển động)
• Bất biến tịnh tiến thời gian và năng lượng
• Bất biến tịnh tiến và động lượng
• Bất biến quay và mômen động lượng

Key theories

Định lý Noether

Mỗi đối xứng liên tục của tác dụng tạo ra một dòng hoặc đại lượng bảo toàn, cung cấp một nguyên lý duy nhất từ đó các định luật bảo toàn cổ điển được suy ra.

Sự tương ứng đối xứng-bảo toàn

Bất biến dưới tịnh tiến thời gian cho sự bảo toàn năng lượng, dưới tịnh tiến không gian cho sự bảo toàn động lượng tuyến tính, và dưới quay cho sự bảo toàn mômen động lượng.

Clinical relevance

Nguyên lý đối xứng-bảo toàn là nền tảng trong toàn bộ vật lý hiện đại: nó tổ chức các định luật bảo toàn trong lý thuyết trường và vật lý hạt, nơi các đối xứng gauge tạo ra các điện tích bảo toàn, và nó hướng dẫn việc xây dựng các lý thuyết vật lý từ các yêu cầu đối xứng của chúng.

History

Emmy Noether đã chứng minh định lý của mình vào năm 1918 tại Göttingen khi làm việc với Klein và Hilbert về bảo toàn năng lượng trong thuyết tương đối rộng. Kết quả của bà đã tiết lộ rằng các định luật bảo toàn cổ điển, trước đây được thiết lập từng trường hợp, đều bắt nguồn từ các đối xứng liên tục của tác dụng, một sự thống nhất đã trở thành trung tâm của vật lý thế kỷ XX.

Key figures

• Emmy Noether
• Felix Klein
• David Hilbert

Seminal works

• noether1918
• arnold1989

Frequently asked questions

Định lý Noether có chỉ áp dụng cho cơ học cổ điển không?

Không. Đó là một kết quả tổng quát về các hệ thống biến phân và áp dụng tương tự cho lý thuyết trường cổ điển và, trong các tương tự lượng tử của nó, làm nền tảng cho các điện tích bảo toàn và các quy tắc chọn lọc trong vật lý hạt.

Đối xứng nào tạo ra sự bảo toàn năng lượng?

Bất biến của hệ thống dưới tịnh tiến theo thời gian, nghĩa là các định luật không thay đổi từ thời điểm này sang thời điểm khác, tương ứng theo định lý Noether với sự bảo toàn năng lượng.