Không gian Hilbert và các trạng thái lượng tử

Một trạng thái lượng tử là một vectơ trong không gian Hilbert, một không gian vectơ phức đầy đủ được trang bị một tích vô hướng, và thiết lập hình học này cung cấp cấu trúc chồng chập, trực giao và xác suất mà cơ học lượng tử dựa vào.

Definition

Không gian Hilbert là một không gian vectơ tích vô hướng đầy đủ trên các số phức, và một trạng thái lượng tử thuần túy là một vectơ đơn vị trong đó, với các trạng thái hỗn hợp được biểu diễn bằng các toán tử mật độ là dương, Hermitian và có vết đơn vị.

Scope

Chủ đề này bao gồm định nghĩa không gian Hilbert và tích vô hướng của nó, chuẩn hóa và sự không liên quan về mặt vật lý của pha tổng thể, các cơ sở trực chuẩn và tính đầy đủ, sự phân biệt giữa các trạng thái thuần túy và hỗn hợp thống kê được mô tả bởi toán tử mật độ, và không gian Hilbert được trang bị cần thiết để chứa các phổ liên tục như vị trí và động lượng.

Core questions

• Những thuộc tính nào làm cho không gian Hilbert trở thành nơi phù hợp cho các trạng thái lượng tử?
• Tại sao một trạng thái lượng tử chỉ được định nghĩa theo chuẩn hóa và pha tổng thể?
• Toán tử mật độ mô tả một hỗn hợp thống kê các trạng thái như thế nào?
• Các trạng thái phổ liên tục như trạng thái riêng vị trí được xử lý toán học như thế nào?

Key concepts

• tích vô hướng
• cơ sở trực chuẩn
• quan hệ đầy đủ
• chuẩn hóa và pha
• toán tử mật độ
• không gian Hilbert được trang bị

Key theories

Các trạng thái thuần túy dưới dạng tia

Một trạng thái thuần túy tương ứng với một không gian con một chiều, hoặc tia, của không gian Hilbert, do đó hai vectơ đơn vị chỉ khác nhau bởi một yếu tố pha mô tả cùng một trạng thái vật lý trong khi pha tương đối của chúng trong một chồng chập có ý nghĩa vật lý.

Toán tử mật độ cho các trạng thái hỗn hợp

Một tập hợp thống kê hoặc một hệ con của một cặp vướng víu không được mô tả bởi một vectơ đơn lẻ mà bởi một toán tử mật độ, một toán tử Hermitian dương có vết đơn vị mà các phần tử đường chéo của nó cho biết số lượng và các phần tử ngoài đường chéo của nó mã hóa các sự kết hợp.

Clinical relevance

Bức tranh không gian Hilbert là ngôn ngữ làm việc của công nghệ lượng tử: qubit là các vectơ đơn vị trong không gian hai chiều, toán tử mật độ mô tả các trạng thái nhiễu và được biết một phần trong thông tin lượng tử, và các mối quan hệ đầy đủ là cơ sở của mọi tính toán thực tế về biên độ và xác suất.

History

Hilbert và các sinh viên của ông đã phát triển lý thuyết về các không gian tích vô hướng vô hạn chiều vào khoảng năm 1900; von Neumann đã nhận ra vào cuối những năm 1920 rằng cấu trúc này đã thống nhất cơ học ma trận của Heisenberg và cơ học sóng của Schrodinger, và Landau cùng von Neumann đã giới thiệu toán tử mật độ để mô tả các trạng thái hỗn hợp.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Lev Landau

Seminal works

• vonneumann1955
• shankar1994

Frequently asked questions

Sự khác biệt giữa trạng thái thuần túy và trạng thái hỗn hợp là gì?

Một trạng thái thuần túy là một vectơ không gian Hilbert đơn lẻ mang tính kết hợp lượng tử đầy đủ, trong khi một trạng thái hỗn hợp là một hỗn hợp xác suất của các trạng thái thuần túy được mô tả bởi một toán tử mật độ, phản ánh sự không chắc chắn cổ điển về trạng thái nào đã được chuẩn bị hoặc sự vướng víu với một hệ thống không được quan sát.

Tại sao pha tổng thể của một trạng thái không quan trọng?

Xác suất đo lường phụ thuộc vào bình phương biên độ, không thay đổi khi nhân toàn bộ trạng thái với một yếu tố pha; chỉ các pha tương đối giữa các thành phần của một chồng chập mới ảnh hưởng đến giao thoa và do đó có tính vật lý.