Các Đại lượng Quan sát được và Phép Đo Lượng tử

Trong cơ học lượng tử, mọi đại lượng có thể đo được đều được biểu diễn bằng một toán tử Hermitian mà các giá trị riêng của nó là các kết quả có thể; một phép đo trả về một giá trị riêng ngẫu nhiên, được trọng số hóa theo quy tắc Born, và để lại hệ thống trong trạng thái riêng tương ứng.

Definition

Một đại lượng quan sát được là một toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert của hệ thống mà các giá trị riêng của nó là các kết quả đo có thể; phép đo chiếu trạng thái lên một không gian con riêng, trả về giá trị riêng tương ứng với xác suất được cho bởi quy tắc Born.

Scope

Chủ đề này bao gồm các toán tử Hermitian và tự liên hợp cùng với phổ thực của chúng, phương trình giá trị riêng và phân tích phổ, giá trị kỳ vọng và sự phụ thuộc thời gian của chúng, các đại lượng quan sát giao hoán và các tập hợp hoàn chỉnh các đại lượng quan sát tương thích, nguyên lý bất định cho các toán tử không giao hoán, và các phép đo tổng quát được mô tả bằng các phép đo giá trị toán tử dương.

Core questions

• Tại sao các đại lượng quan sát được phải được biểu diễn bằng các toán tử Hermitian?
• Làm thế nào để tính toán giá trị trung bình và độ phân tán của các phép đo lặp lại từ trạng thái?
• Khi nào hai đại lượng quan sát có thể được đo đồng thời với độ chính xác tùy ý?
• Nguyên lý bất định nói gì về các đại lượng quan sát không tương thích?

Key concepts

• toán tử Hermitian
• giá trị riêng và trạng thái riêng
• giá trị kỳ vọng
• các đại lượng quan sát giao hoán
• tập hợp hoàn chỉnh các đại lượng quan sát tương thích
• bất định Heisenberg

Key theories

Định lý phổ cho các đại lượng quan sát

Một toán tử tự liên hợp có các giá trị riêng thực và một cơ sở riêng trực chuẩn, do đó bất kỳ đại lượng quan sát nào cũng có thể được phân tích thành tổng, hoặc tích phân, của các giá trị riêng của nó nhân với các phép chiếu lên các không gian con riêng tương ứng, đây chính xác là cấu trúc mà phép đo khai thác.

Nguyên lý bất định

Đối với hai đại lượng quan sát, tích của độ lệch chuẩn của các phép đo của chúng trong bất kỳ trạng thái nào đều bị chặn dưới bởi một nửa độ lớn của giá trị kỳ vọng của bộ giao hoán của chúng, do đó các đại lượng không giao hoán như vị trí và động lượng không thể đồng thời được xác định rõ ràng.

Clinical relevance

Khái niệm toán tử về phép đo là nền tảng của quang phổ học, nơi các năng lượng đo được là các giá trị riêng của toán tử, và đo lường lượng tử và chụp cắt lớp, nơi các giá trị kỳ vọng và các tập hợp đại lượng quan sát tương thích xác định lượng thông tin về một trạng thái có thể được trích xuất; nguyên lý bất định đặt ra các giới hạn cơ bản về độ chính xác trong cảm biến và kính hiển vi.

History

Heisenberg đã giới thiệu mối quan hệ bất định của mình vào năm 1927, và cùng năm đó chứng kiến sự hình thành của hình thức toán tử; luận thuyết năm 1932 của von Neumann đã đặt nền tảng vững chắc cho phép đo và các toán tử tự liên hợp, và các công trình sau này đã tổng quát hóa các phép đo chiếu thành các phép đo giá trị toán tử dương trong thông tin lượng tử.

Debates

Giải thích nguyên lý bất định

Việc nguyên lý bất định phản ánh một sự nhiễu loạn không thể tránh khỏi do thiết bị đo hay một thuộc tính nội tại của các trạng thái lượng tử độc lập với phép đo đã được tranh luận kể từ Heisenberg; các mối quan hệ nhiễu loạn-phép đo hiện đại phân biệt hai khái niệm này.

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

Tại sao các đại lượng quan sát được yêu cầu phải là Hermitian?

Các toán tử Hermitian có các giá trị riêng thực, phù hợp với yêu cầu rằng kết quả đo phải là số thực, và chúng sở hữu một cơ sở riêng trực chuẩn hoàn chỉnh cho phép quy tắc Born gán một tập hợp xác suất kết quả nhất quán.

Bất kỳ hai đại lượng quan sát nào có thể được đo cùng một lúc không?

Chỉ khi các toán tử của chúng giao hoán; các đại lượng quan sát giao hoán chia sẻ một cơ sở riêng và có thể được gán các giá trị xác định đồng thời, trong khi các đại lượng quan sát không giao hoán tuân theo một mối quan hệ bất định cấm các giá trị sắc nét đồng thời.