Không gian Hilbert

Không gian Hilbert là một không gian tích trong đầy đủ, một sự tổng quát hóa vô hạn chiều của hình học Euclid, nơi các khái niệm về góc, tính trực giao và phép chiếu vẫn giữ nguyên giá trị đầy đủ.

Definition

Không gian Hilbert là một không gian vectơ với một tích trong đầy đủ theo chuẩn mà tích trong đó cảm sinh; tích trong cung cấp một hình học về độ dài và góc, giúp cho phép chiếu trực giao và khai triển trực chuẩn trở nên khả dụng.

Scope

Chủ đề này bao gồm tích trong và chuẩn cảm sinh của nó, các đẳng thức Cauchy-Schwarz và hình bình hành, tính trực giao và phần bù trực giao, định lý chiếu lên các tập lồi đóng, các cơ sở trực chuẩn và đẳng thức Parseval, và định lý biểu diễn Riesz xác định một không gian Hilbert với không gian đối ngẫu của nó.

Core questions

• Làm thế nào một tích trong trang bị hình học cho một không gian vô hạn chiều?
• Tại sao mọi tập lồi đóng đều có một điểm gần nhất duy nhất, và phép chiếu này mang lại điều gì?
• Làm thế nào các cơ sở trực chuẩn biểu diễn mọi vectơ như một chuỗi Fourier tổng quát?
• Tại sao một không gian Hilbert được đồng nhất một cách tự nhiên với không gian đối ngẫu của chính nó?

Key theories

Định lý chiếu

Mọi tập con lồi đóng không rỗng của một không gian Hilbert đều chứa một điểm duy nhất gần nhất với bất kỳ vectơ nào cho trước, và phép chiếu trực giao lên một không gian con đóng chia không gian thành không gian con đó và phần bù trực giao của nó.

Định lý biểu diễn Riesz

Mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên một không gian Hilbert đều được cho bởi tích trong với một vectơ duy nhất, do đó không gian được đồng nhất đẳng cự với không gian đối ngẫu của nó, nguồn gốc của nhiều tiện ích phân tích của không gian.

Clinical relevance

Không gian Hilbert là không gian trạng thái của cơ học lượng tử, nơi khai triển trực chuẩn và phép chiếu thể hiện phép đo và sự chồng chất; chúng cũng là nền tảng của xấp xỉ bình phương nhỏ nhất, phân tích Fourier và wavelet, xử lý tín hiệu và các không gian hạt nhân tái tạo (reproducing-kernel spaces) trung tâm trong học máy hiện đại.

History

Cấu trúc này xuất hiện từ nghiên cứu của Hilbert về các phương trình tích phân và các dạng toàn phương vô hạn vào đầu thế kỷ XX; von Neumann đã đưa ra định nghĩa tiên đề trừu tượng vào những năm 1920 khi xây dựng cơ học lượng tử, định hình khái niệm hiện đại về không gian Hilbert.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• stein2005real

Frequently asked questions

Không gian Hilbert khác với không gian Banach như thế nào?

Một không gian Hilbert mang một tích trong cảm sinh chuẩn của nó và cung cấp hình học, góc, tính trực giao và phép chiếu, trong khi một không gian Banach tổng quát chỉ có một chuẩn; mọi không gian Hilbert đều là không gian Banach nhưng điều ngược lại thì không đúng.

Cơ sở trực chuẩn là gì?

Đó là một tập hợp tối đại các vectơ đơn vị vuông góc với nhau sao cho mọi phần tử của không gian là tổng các phép chiếu của nó lên các vectơ đó, tổng quát hóa cách chuỗi Fourier khai triển các hàm thành sin và cosin.