Tích phân Gauss

Tích phân Gauss lựa chọn cả các nút và các trọng số của một quy tắc tích phân để tối đa hóa bậc chính xác đa thức của nó, tích phân chính xác các đa thức bậc 2n-1 chỉ với n lần đánh giá hàm.

Definition

Tích phân Gauss là một họ các quy tắc tích phân mà các nút của chúng là nghiệm của các đa thức trực giao liên quan đến một hàm trọng số, được chọn cùng với các trọng số của chúng để đạt được bậc chính xác tối đa có thể cho một số nút nhất định.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc xây dựng các quy tắc Gauss từ các nghiệm của đa thức trực giao, quy tắc Gauss-Legendre và các biến thể có trọng số (Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), thuật toán giá trị riêng Golub-Welsch để tính toán các nút và trọng số, và các mở rộng Gauss-Kronrod được sử dụng để ước tính lỗi thực tế.

Core questions

• Việc đặt các nút tại các nghiệm của đa thức trực giao làm thế nào để tăng gấp đôi bậc chính xác so với các quy tắc nút cố định?
• Các nút và trọng số được tính toán chính xác như thế nào cho một hàm trọng số đã cho?
• Các quy tắc Gauss có trọng số xử lý các tích phân với các hàm trọng số có điểm kỳ dị hoặc miền vô hạn như thế nào?
• Các ước tính lỗi đáng tin cậy được thu thập như thế nào, ví dụ thông qua các cặp Gauss-Kronrod?

Key theories

Bậc chính xác tối đa

Một quy tắc tích phân n điểm có thể chính xác cho các đa thức lên đến bậc 2n-1, và mức tối đa này đạt được chính xác khi các nút là nghiệm của đa thức trực giao bậc n cho hàm trọng số, với tất cả các trọng số dương.

Thuật toán Golub-Welsch

Các nút và trọng số của một quy tắc Gauss được thu thập dưới dạng các giá trị riêng và bình phương các thành phần vector riêng đầu tiên của ma trận Jacobi đối xứng ba đường chéo được hình thành từ các hệ số truy hồi của các đa thức trực giao, biến việc xây dựng tích phân thành một phép tính giá trị riêng.

Mechanisms

Các đa thức trực giao thỏa mãn một quan hệ truy hồi ba số hạng mà các hệ số của chúng tạo thành một ma trận Jacobi đối xứng ba đường chéo; thuật toán Golub-Welsch tính toán các giá trị riêng của nó (các nút tích phân) và sử dụng các thành phần đầu tiên của các vector riêng để khôi phục các trọng số, tất cả một cách ổn định. Thay đổi hàm trọng số — sang một hàm có các điểm kỳ dị tích hợp hoặc được hỗ trợ trên một nửa đường thẳng hoặc toàn bộ đường thẳng — tạo ra các quy tắc Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre, hoặc Gauss-Hermite hấp thụ hành vi khó khăn một cách phân tích. Các quy tắc Gauss-Kronrod tái sử dụng các nút Gauss và thêm các nút xen kẽ để có được một ước tính bậc cao hơn, và do đó một ước tính lỗi, với chi phí bổ sung khiêm tốn.

Clinical relevance

Tích phân Gauss là công cụ chính để đánh giá các tích phân phần tử và độ cứng trong phân tích phần tử hữu hạn, để tính toán các moment và kỳ vọng dựa trên các hàm trọng số xác suất trong thống kê và định lượng bất định, và để đánh giá chính xác cao các tích phân trơn trong toàn bộ lĩnh vực vật lý và kỹ thuật, nơi việc giảm thiểu số lần đánh giá hàm dưới dấu tích phân tốn kém là tối quan trọng.

History

Gauss đã phát triển quy tắc tích phân tối ưu của mình vào năm 1814; Jacobi đã kết nối nó với các đa thức trực giao, và phương pháp tính toán hiện đại được thiết lập bởi thuật toán Golub-Welsch năm 1969, giúp các nút và trọng số có thể tính toán được một cách thường xuyên và đưa các quy tắc Gauss vào các thư viện số tiêu chuẩn.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Làm thế nào n điểm có thể tích phân chính xác một đa thức bậc 2n-1?

Bởi vì cả n nút và n trọng số đều là các tham số tự do, có 2n bậc tự do, đủ để khớp với các tích phân của 2n đa thức cơ sở (bậc 0 đến 2n-1). Việc đặt các nút tại các nghiệm đa thức trực giao đạt được chính xác điều này.

Độ chính xác của một quy tắc Gauss được kiểm tra như thế nào trong thực tế?

Một phương pháp phổ biến là cặp Gauss-Kronrod, bổ sung một quy tắc Gauss với các nút phụ để tạo ra một ước tính bậc cao hơn; sự khác biệt giữa hai ước tính này đóng vai trò là một ước tính lỗi thực tế được sử dụng bởi các bộ tích phân thích ứng.