Tích phân số
Tích phân số, hay phép cầu phương, xấp xỉ các tích phân xác định bằng tổng có trọng số của các giá trị hàm, cung cấp các giá trị chính xác khi không có nguyên hàm hoặc hàm dưới dấu tích phân chỉ được biết tại các điểm mẫu.
Definition
Tích phân số là phép xấp xỉ một tích phân xác định bằng một tổ hợp hữu hạn có trọng số của các giá trị hàm dưới dấu tích phân, được gọi là quy tắc cầu phương, cùng với phân tích độ chính xác của nó.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm các quy tắc cầu phương nội suy được xây dựng bằng cách tích phân các đa thức nội suy (Newton-Cotes), các quy tắc Gauss bậc tối ưu dựa trên các đa thức trực giao, các lược đồ tổng hợp và thích ứng tự động kiểm soát lỗi, và phân tích lỗi chi phối độ chính xác và sự hội tụ; tích phân đa chiều được coi là phần mở rộng của các nền tảng một chiều này.
Sub-topics
Core questions
- Các quy tắc cầu phương được xây dựng từ nội suy đa thức như thế nào, và điều gì quyết định độ chính xác của chúng?
- Bậc chính xác của một quy tắc là gì, và các quy tắc Gauss tối đa hóa nó như thế nào đối với một số điểm nhất định?
- Các chiến lược tổng hợp và thích ứng kiểm soát lỗi trên một khoảng như thế nào?
- Độ trơn của hàm dưới dấu tích phân chi phối tốc độ hội tụ của một quy tắc cầu phương như thế nào?
Key theories
- Cầu phương nội suy
- Tích phân đa thức nội suy hàm dưới dấu tích phân tại các nút đã chọn tạo ra một quy tắc cầu phương mà các trọng số là tích phân của các hàm cơ sở Lagrange; quy tắc này chính xác cho tất cả các đa thức lên đến bậc nội suy.
- Cầu phương Gauss và đa thức trực giao
- Việc chọn các nút là nghiệm của các đa thức trực giao tạo ra một quy tắc n điểm chính xác cho các đa thức lên đến bậc 2n-1, là bậc tối đa có thể, liên kết phép cầu phương tối ưu với lý thuyết đa thức trực giao.
- Kiểm soát lỗi thích ứng
- So sánh các ước tính từ các quy tắc có bậc khác nhau hoặc từ các phân chia nhỏ hơn tạo ra một ước tính lỗi điều khiển việc phân chia tự động, tập trung nỗ lực vào những nơi hàm dưới dấu tích phân thay đổi nhanh chóng.
Clinical relevance
Phép cầu phương được yêu cầu ở bất cứ nơi nào các tích phân không thể được đánh giá dưới dạng đóng: tính toán kỳ vọng và các hằng số chuẩn hóa trong xác suất và thống kê, đánh giá các tích phân phần tử trong các phương pháp phần tử hữu hạn, tổng hợp các đóng góp bức xạ và lực trong các mô phỏng vật lý, và định giá các công cụ tài chính trong tài chính tính toán; việc lựa chọn quy tắc cân bằng độ chính xác với số lần đánh giá hàm dưới dấu tích phân (thường tốn kém).
History
Các quy tắc nội suy cổ điển có từ Newton và Cotes, trong khi Gauss giới thiệu phép cầu phương bậc tối ưu của mình vào năm 1814; kỷ nguyên máy tính đã bổ sung các thuật toán thích ứng tự động và các thư viện phần mềm chất lượng cao, đồng thời làm mới sự chú ý đến điều kiện và tính ổn định của phép cầu phương đối với các hàm dưới dấu tích phân khó.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- Khi nào cần tích phân số thay vì tìm nguyên hàm?
- Nhiều hàm dưới dấu tích phân không có nguyên hàm có thể biểu diễn bằng các hàm sơ cấp, và trong thực tế, hàm dưới dấu tích phân có thể chỉ có sẵn dưới dạng dữ liệu hoặc là kết quả của một mô phỏng. Trong cả hai trường hợp, một quy tắc cầu phương ước tính tích phân trực tiếp từ các giá trị hàm.
- Tại sao cầu phương Gauss lại hiệu quả đến vậy?
- Bằng cách đặt tối ưu cả các nút và các trọng số, một quy tắc Gauss n điểm tích phân chính xác các đa thức lên đến bậc 2n-1 — gấp đôi bậc của một quy tắc Newton-Cotes với cùng số điểm — do đó nó đạt được độ chính xác cao với ít lần đánh giá hàm đối với các hàm dưới dấu tích phân trơn.