Công thức Newton-Cotes

Các công thức Newton-Cotes xấp xỉ một tích phân bằng cách tích phân đa thức nội suy hàm dưới dấu tích phân tại các điểm cách đều, cho ra các công thức quen thuộc như công thức hình thang và công thức Simpson.

Definition

Công thức cầu phương Newton-Cotes là một công thức cầu phương nội suy có các nút cách đều trên khoảng tích phân, với các trọng số thu được bằng cách tích phân đa thức nội suy tương ứng.

Scope

Chủ đề này bao gồm các công thức Newton-Cotes đóng và mở, bậc chính xác và các số hạng sai số của chúng, các công thức hình thang và Simpson tổng hợp thu được bằng cách chia nhỏ khoảng, tích phân Romberg thông qua phép ngoại suy Richardson, và sự bất ổn định của các công thức Newton-Cotes bậc cao làm hạn chế mức độ ứng dụng thực tế của chúng.

Core questions

• Công thức hình thang và Simpson được suy ra như thế nào từ các hàm nội suy đã tích phân?
• Các số hạng sai số của các công thức này là gì, và tại sao công thức Simpson lại có thêm một bậc từ tính đối xứng?
• Các công thức tổng hợp và ngoại suy Romberg cải thiện độ chính xác một cách có hệ thống như thế nào?
• Tại sao các công thức Newton-Cotes bậc cao trở nên không ổn định, và điều gì hạn chế việc sử dụng chúng?

Key theories

Bậc chính xác và các số hạng sai số

Công thức hình thang chính xác cho các hàm tuyến tính với sai số tỷ lệ với đạo hàm bậc hai, trong khi công thức Simpson, do tính đối xứng, chính xác cho các hàm bậc ba với sai số tỷ lệ với đạo hàm bậc bốn, đạt được một bậc cao hơn bậc nội suy của nó.

Các công thức tổng hợp và tích phân Romberg

Áp dụng một công thức cơ bản trên nhiều khoảng con tạo ra một công thức tổng hợp có sai số giảm theo đa thức theo kích thước bước; ngoại suy Richardson của công thức hình thang tổng hợp tạo ra sơ đồ Romberg hội tụ nhanh chóng.

Mechanisms

Mỗi công thức cơ bản tích phân chính xác hàm nội suy cách đều: công thức hình thang tích phân một đường thẳng, công thức Simpson tích phân một parabol. Các công thức tổng hợp chia khoảng và tổng hợp các công thức cơ bản trên mỗi đoạn, do đó việc giảm một nửa kích thước bước sẽ làm giảm sai số một cách có thể dự đoán được. Tích phân Romberg lập bảng các ước lượng hình thang tổng hợp với kích thước bước giảm dần một nửa và áp dụng ngoại suy Richardson lặp lại, loại bỏ các số hạng sai số hàng đầu để đạt được độ chính xác cao cho các hàm trơn. Các công thức Newton-Cotes bậc cao trên một khoảng đơn có các trọng số dao động lớn với dấu hỗn hợp, phản ánh hiện tượng Runge, gây ra sự triệt tiêu và bất ổn định.

Clinical relevance

Các công thức Newton-Cotes, đặc biệt là các dạng hình thang và Simpson tổng hợp, là các công cụ cầu phương chi phí thấp mặc định khi các mẫu hàm dưới dấu tích phân được lấy cách đều một cách tự nhiên — ví dụ như dữ liệu thực nghiệm được lập bảng, tích phân chuỗi thời gian và xử lý hậu kỳ mô phỏng đơn giản — và tích phân Romberg cung cấp kết quả chính xác cho các hàm trơn với mã hóa tối thiểu.

History

Các công thức này có nguồn gốc từ Newton và Cotes vào đầu thế kỷ 18 và từ Thomas Simpson, người mà công thức mang tên ông; sơ đồ ngoại suy năm 1955 của Werner Romberg đã biến công thức hình thang cơ bản thành một phương pháp có độ chính xác cao và vẫn là một công cụ giảng dạy và tính toán tiêu chuẩn.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Tại sao công thức Simpson chính xác hơn công thức hình thang?

Công thức Simpson khớp một parabol qua ba điểm thay vì một đường thẳng qua hai điểm, và do tính đối xứng, nó tích phân chính xác các đa thức bậc ba, do đó sai số của nó phụ thuộc vào đạo hàm bậc bốn và giảm nhanh hơn nhiều khi kích thước bước giảm.

Tại sao không chỉ sử dụng một công thức Newton-Cotes bậc rất cao?

Các công thức Newton-Cotes bậc cao trên các nút cách đều tạo ra các trọng số lớn với dấu xen kẽ, gây ra sự triệt tiêu số học và bất ổn định. Trong thực tế, người ta sử dụng các công thức bậc thấp tổng hợp, ngoại suy Romberg hoặc cầu phương Gauss thay thế.