Phép tính biến phân
Phép tính biến phân tìm kiếm các hàm số làm cực trị các phiếm hàm tích phân, tổng quát hóa các bài toán cực đại và cực tiểu thông thường từ các điểm sang các đường cong và trường.
Definition
Phép tính biến phân nghiên cứu các phiếm hàm, gán các giá trị số cho các hàm số, và tìm kiếm các hàm số tại đó một phiếm hàm là dừng hoặc đạt giá trị cực trị, tuân theo các điều kiện biên và điều kiện phụ.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm việc suy ra các phương trình Euler-Lagrange như là điều kiện cần cho một cực trị, các bài toán biến phân có ràng buộc và biên tự do, các điều kiện biến phân bậc hai và lồi cho cực tiểu, phương pháp trực tiếp thiết lập sự tồn tại của các hàm cực tiểu, và mối liên hệ với cơ học Hamilton và điều khiển tối ưu.
Sub-topics
Core questions
- Những hàm số nào làm cho một phiếm hàm tích phân cho trước trở nên dừng?
- Những điều kiện cần và đủ nào xác định một hàm cực tiểu?
- Khi nào thì một hàm cực tiểu thực sự tồn tại?
- Các nguyên lý biến phân mã hóa các định luật vật lý như thế nào?
Key theories
- Các phương trình Euler-Lagrange
- Một hàm số làm cực trị một phiếm hàm tích phân phải thỏa mãn phương trình vi phân Euler-Lagrange, tương tự biến phân của việc đặt đạo hàm bằng 0.
- Phương pháp trực tiếp
- Sự tồn tại của một hàm cực tiểu được thiết lập bằng cách lấy một dãy cực tiểu và sử dụng tính compact và tính nửa liên tục dưới, bỏ qua việc giải tường minh phương trình Euler-Lagrange.
- Các nguyên lý biến phân trong vật lý
- Nguyên lý tác dụng dừng của Hamilton tái cấu trúc cơ học và lý thuyết trường thành các bài toán biến phân, thống nhất các phương trình chi phối của chúng thông qua phép tính biến phân.
Clinical relevance
Các phương pháp biến phân thể hiện các định luật cơ bản trong vật lý thông qua các nguyên lý tác dụng tối thiểu và năng lượng tối thiểu, và chúng là nền tảng của điều khiển tối ưu, hình học của các bề mặt tối thiểu và đường trắc địa, xử lý ảnh, và phương pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật.
History
Chủ đề này bắt đầu với bài toán đường đoản ngẫu (brachistochrone) do Johann Bernoulli đặt ra vào năm 1696. Euler và Lagrange đã phát triển lý thuyết tổng quát và phương trình Euler-Lagrange vào thế kỷ XVIII, Hamilton đã tái cấu trúc cơ học một cách biến phân, và phương pháp trực tiếp của Hilbert vào thế kỷ XX cùng với bài toán thứ hai mươi ba của ông đã làm sống lại lý thuyết tồn tại.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- Phép tính biến phân khác với phép tính vi tích phân thông thường như thế nào?
- Phép tính vi tích phân thông thường tìm các điểm mà một hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, trong khi phép tính biến phân tìm các hàm số hoàn chỉnh, chẳng hạn như đường cong hoặc bề mặt, làm cực trị một tích phân. Đại lượng chưa biết là một hàm số chứ không phải một số, và điều kiện để có cực trị là một phương trình vi phân.
- Nguyên lý tác dụng tối thiểu là gì?
- Đây là phát biểu vật lý rằng chuyển động của một hệ làm cho một đại lượng gọi là tác dụng trở nên dừng. Áp dụng phép tính biến phân vào tác dụng sẽ cho ra các phương trình chuyển động, do đó phần lớn vật lý cổ điển và lượng tử có thể được suy ra từ một nguyên lý biến phân duy nhất.