Hiyerarşik Bayes Modelleri
Hiyerarşik Bayes modelleri, parametrelerine ortak bir önsel (prior) atayarak ilişkili birimler arasında bilgi paylaşımı sağlamakta ve bu sayede her grup için tahminleri iyileştiren kısmi havuzlama (partial pooling) gerçekleştirmektedir.
Tanım
Hiyerarşik bir Bayes modeli, grup-spesifik parametreler üzerine, kendisi de kendi (hiper)önsel dağılımlarına sahip daha üst düzey parametrelere bağlı olan bir önsel yerleştirmektedir; böylece gruplar arasında bilgi ödünç alınmakta ve belirsizlik hiyerarşinin tüm seviyelerine yayılmaktadır.
Kapsam
Bu alan, çok düzeyli model yapısını ve kısmi havuzlamayı, popülasyon düzeyindeki parametreler üzerindeki hiper-önsel (hyperprior) dağılımların rolünü, grup tahminlerinin genel ortalamaya doğru büzülmesini (shrinkage) ve önseli verilerden tahmin eden ampirik Bayes yaklaşımını kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Hiyerarşik bir önsel, gruplar arasında kısmi havuzlamayı nasıl sağlamaktadır?
- Hiperparametreler ve hiper-önsel dağılımlar modelde hangi rolleri oynamaktadır?
- Grup düzeyindeki tahminler neden ve nasıl popülasyon ortalamasına doğru büzülmektedir?
- Ampirik Bayes, tam bir hiyerarşik analizi nasıl yaklaşık olarak gerçekleştirmektedir?
Anahtar kavramlar
- çok düzeyli model
- kısmi havuzlama (partial pooling)
- hiperparametre
- hiper-önsel (hyperprior)
- büzülme (shrinkage)
- rastgele etkiler
- ampirik Bayes
- güç ödünç alma (borrowing strength)
Temel kuramlar
- Kısmi havuzlama (Partial pooling)
- Ortak bir önsel altında grup parametrelerini birlikte tahmin ederek, hiyerarşik modeller havuzlama olmaması ile tam havuzlama arasında bir interpolasyon sağlamakta olup, havuzlama derecesi veriler tarafından belirlenmektedir.
- Büzülme (Shrinkage) ve Stein etkisi
- Grup tahminlerini popülasyon ortalamasına doğru büzmek, toplam tahmin hatasını azaltmaktadır; bu fenomen, Stein'ın tahmincisi tarafından gösterilen, örneklem ortalamasının çok boyutlu durumlarda kabul edilemezliği ile ilişkilidir.
Klinik önem
Hiyerarşik modeller, meta-analiz, çok merkezli klinik çalışmalar, küçük alan tahmini ve birçok ilişkili grubun bulunduğu her türlü ortam için standart bir araçtır, çünkü kısmi havuzlama, verilerin seyrek olduğu durumlarda tahminleri stabilize etmektedir.
Tarihçe
Lindley ve Smith, 1972'de Bayesçi doğrusal hiyerarşik modeli formüle etmiş, 1950'ler-1970'lerde Stein ve ampirik Bayes çalışmalarının büzülmenin faydalarını ortaya koyan bulgularına dayanmıştır. Hesaplama alanındaki gelişmeler daha sonra tam Bayesçi hiyerarşik modellemeyi uygulamalı alanlarda rutin hale getirmiştir.
Tartışmalar
- Varyans bileşenleri üzerindeki önsel dağılımlar
- Grup düzeyindeki varyanslar için hiper-önsel seçimi, grup sayısı az olduğunda büzülmeyi güçlü bir şekilde etkilemektedir ve hangi zayıf bilgilendirici önsel dağılımların en iyi davrandığı konusunda devam eden bir tartışma bulunmaktadır.
Öne çıkan isimler
- Dennis Lindley
- Adrian Smith
- Bradley Efron
- Carl Morris
- Andrew Gelman
İlgili konular
Temel eserler
- gelman2013
- efron1975
Sıkça sorulan sorular
- Kısmi havuzlama (partial pooling) nedir?
- Kısmi havuzlama, her grubun parametresini hem kendi verilerini hem de ortak bir önsel aracılığıyla diğer gruplardan gelen bilgiyi kullanarak tahmin etmekte, böylece tamamen ayrı (havuzlama yok) ve tamamen birleştirilmiş (tam havuzlama) analizler arasındaki tahminleri üretmektedir.
- Hiyerarşik tahminler neden 'büzülmektedir'?
- Çünkü paylaşılan önsel, her grubun tahminini, o grubun verilerinin ne kadar gürültülü olduğuna bağlı bir miktarda genel ortalamaya doğru çekmektedir; daha gürültülü gruplar daha fazla büzülmekte, bu da genel hatayı azaltmaktadır.