Euler-Lagrange Denklemi
Euler-Lagrange denklemi, bir integral fonksiyonelini ekstremize eden herhangi bir fonksiyonun sağlaması gereken diferansiyel denklemdir ve varyasyonlar hesabının merkezi gerekli koşulunu oluşturmaktadır.
Tanım
Bir fonksiyon ve türevine bağlı bir Lagrangian'ın integrali ile verilen bir fonksiyonel için Euler-Lagrange denklemi, Lagrangian'ın fonksiyona göre kısmi türevinin, Lagrangian'ın fonksiyonun türevine göre kısmi türevinin bağımsız değişkene göre türevine eşit olduğunu ifade etmektedir.
Kapsam
Bu konu, bir fonksiyonelin birinci varyasyonu ve bunun sıfırlanma koşulu, Euler-Lagrange denkleminin türetilmesi, varyasyonlar hesabının temel lemmasını, doğal ve esas sınır koşullarını, Beltrami özdeşliği gibi birinci integralleri ve birden fazla fonksiyona, yüksek türevlere ve çoklu integrallere genellemeleri kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir fonksiyonelin ekstremalinin hangi denklemi sağlaması gerekmektedir?
- Koşul, birinci varyasyondan nasıl türetilmektedir?
- Denkleme hangi sınır koşulları eşlik etmektedir?
- Birinci integraller, ortaya çıkan denklemi ne zaman basitleştirmektedir?
Temel kuramlar
- Birinci varyasyon ve durağanlık
- Bir fonksiyonelin birinci varyasyonunu tüm kabul edilebilir pertürbasyonlar için sıfıra eşitlemek, varyasyonlar hesabının temel lemmasıyla birlikte Euler-Lagrange denklemini vermektedir.
- Doğal sınır koşulları
- Uç noktalar sabit yerine serbest olduğunda, sıfırlanan birinci varyasyon, diferansiyel denklemin kendisinin ötesinde, ekstremale ek doğal sınır koşulları dayatmaktadır.
- Birinci integraller ve Beltrami özdeşliği
- Lagrangian bağımsız değişkene açıkça bağlı olmadığında, korunan bir nicelik olan Beltrami özdeşliği, ikinci dereceden denklemi birinci dereceden bir denkleme indirgemektedir.
Klinik önem
Euler-Lagrange denklemi, varyasyonel prensipleri çözülebilir diferansiyel denklemlere dönüştürerek Lagrangian mekaniğinde hareket denklemlerini, geometride jeodezik denklemleri ve elastisite, optik ve alan teorisinin yönetici denklemlerini üretmektedir.
Tarihçe
Euler denklemi 1744'te geometrik olarak türetmiştir. Lagrange ise 1755 civarında varyasyonların cebirsel yöntemiyle türetmeyi yeniden şekillendirerek denkleme modern biçimini ve adını vermiştir. Noether daha sonra Lagrangian'ın simetrilerini denklem aracılığıyla korunan niceliklerle ilişkilendirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- Emmy Noether
- Eugenio Beltrami
İlgili konular
Temel eserler
- gelfand1963
- courant1953
Sıkça sorulan sorular
- Euler-Lagrange denklemi neden sadece gerekli bir koşuldur?
- Fonksiyonelin durağan olduğu fonksiyonları, yani bir kritik noktanın analoğunu tanımlamaktadır; ancak böyle bir nokta bir minimum, bir maksimum veya hiçbiri olmayabilir. Hangisi olduğunu belirlemek, ikinci varyasyonu incelemeyi veya dışbükeylik ya da doğrudan yöntem argümanlarını uygulamayı gerektirmektedir.
- Doğal sınır koşulu nedir?
- Rakip fonksiyonların uç noktaları sabit olmadığında, birinci varyasyonun sıfır olmasını gerektirmek, sınır terimlerinden türetilen bu uç noktalarda ek bir koşul dayatmaktadır. Bu doğal sınır koşulları, dayatılmaktan ziyade varyasyonel prensipten otomatik olarak ortaya çıkmaktadır.