En Az Eylem İlkesi
En Az Eylem İlkesi, bir sistemin iki konfigürasyon arasında izlediği fiziksel yolun, eylem integralinin durağan olduğu yol olduğunu belirtmektedir.
Tanım
En az eylem ilkesi, bir mekanik sistemin, Lagrangian'ın zaman üzerindeki integrali olan eylemin, uç noktalar sabit tutularak yoldaki küçük varyasyonlar altında durağan olduğu yörünge boyunca evrildiğini ileri süren bir iddiadır.
Kapsam
Bu konu, Lagrangian'ın zaman integrali olarak eylem fonksiyonelini, Hamilton'ın durağan eylem ilkesini, fiziksel yolları çıkarmak için kullanılan varyasyonel hesabı ve eski Maupertuis (kısaltılmış eylem) ilkesi ile Hamilton ilkesi arasındaki ayrımı kapsamaktadır. Tek bir varyasyonel ifadenin mekaniğin tamamını nasıl kodlayabildiğini açıklamaktadır.
Temel sorular
- Eylem nedir ve durağan olması ne anlama gelmektedir?
- Hamilton ilkesi, eski Maupertuis'nin en az eylem ilkesinden nasıl farklılaşmaktadır?
- Tek bir varyasyonel ilke, Newton dinamiklerinin tamamını neden yeniden üretebilmektedir?
Anahtar kavramlar
- Eylem fonksiyoneli
- Varyasyonel hesap
- Durağan (ekstremal) yol
- Uç nokta (sınır) koşulları
- Kısaltılmış eylem
Temel kuramlar
- Hamilton ilkesi
- Konfigürasyon uzayında sabit uç noktalara sahip tüm yollar arasında, fiziksel hareket, eylem integralinin sıfır birinci varyasyona sahip olduğu ve eylemi durağan kıldığı yoldur.
- Maupertuis kısaltılmış eylem ilkesi
- Daha önceki bir varyasyonel form, enerjiyi sabit tutar ve konfigürasyon uzayındaki yol boyunca kısaltılmış eylemi durağan kılar; bu, uygun koşullar altında Hamilton ilkesine eşdeğerdir.
Klinik önem
Eylem ilkesi, klasik fizikten modern fiziğe uzanan kavramsal bir köprüdür: relativistik alan teorisine genelleşmekte ve Feynman'ın kuantum mekaniğinin yol-integrali formülasyonunun temelini oluşturmaktadır; burada her yol eylem tarafından ağırlıklandırılarak katkıda bulunmaktadır.
Tarihçe
Maupertuis, 1740'larda metafiziksel gerekçelerle bir en az eylem ilkesi önermiş, Euler ve Lagrange ise bunu varyasyonel hesap yoluyla sağlam bir matematiksel temele oturtmuştur. Hamilton, 1830'larda bunu, hem Lagrangian hem de Hamilton mekaniği için birleştirici bir başlangıç noktası haline gelen, zaman üzerindeki durağan eylemin modern ilkesi olarak yeniden formüle etmiştir.
Öne çıkan isimler
- Pierre Louis Maupertuis
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
İlgili konular
Temel eserler
- lanczos1970
- goldstein2002
Sıkça sorulan sorular
- Eylem gerçekten minimize edilmekte midir?
- Genellikle evet, ancak her zaman değil. Tanımlayıcı koşul, eylemin durağan olması, yani birinci varyasyonunun sıfır olmasıdır; yeterince uzun yollar için durağan nokta bir minimum yerine bir eyer noktası olabilmektedir.
- İlke, kuantum mekaniği ile nasıl ilişkilidir?
- Feynman'ın yol integralinde, bir kuantum genliği, eylemin üstel fonksiyonu ile ağırlıklandırılmış tüm yollardan gelen katkıları toplamaktadır; klasik en az eylem yolu, yakındaki katkıların yapıcı bir şekilde toplandığı yerde ortaya çıkmaktadır.