Varyasyon Hesabında Doğrudan Yöntem
Doğrudan yöntem, Euler-Lagrange denklemini çözmek yerine, minimize edici diziler ve kompaktlık ile çalışarak bir fonksiyonelin minimize edicisinin varlığını ortaya koymaktadır.
Tanım
Doğrudan yöntem, bir fonksiyonelin infimumuna ulaştığını, minimize edici bir dizi seçerek, kompaktlık kullanarak yakınsak bir alt dizi çıkararak ve limitin gerçek bir minimize edici olduğunu göstermek için alttan yarı sürekliliği kullanarak kanıtlamaktadır.
Kapsam
Bu konu, minimize edici dizileri, zorlayıcılığı (coercivity), Sobolev uzaylarında zayıf kompaktlığı, zayıf alttan yarı sürekliliği ve bunun integrantın dışbükeyliği (convexity) ile bağlantısını, minimize edicilerin varlığını ve bu fikirlerin kısmi diferansiyel denklemlerin modern teorisindeki ve çözümlerin düzenliliğindeki rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir fonksiyonelin minimumuna ulaşması ne zaman garanti edilmektedir?
- Zorlayıcılık (coercivity) ve kompaktlık hangi rolü oynamaktadır?
- Dışbükeyliğe (convexity) bağlı olan zayıf alttan yarı süreklilik neden anahtar hipotezdir?
- Yöntem, varyasyonel problemleri kısmi diferansiyel denklemlere nasıl bağlamaktadır?
Temel kuramlar
- Zorlayıcılık (Coercivity) ve Zayıf Kompaktlık
- Zorlayıcılık (coercivity), minimize edici dizileri uygun bir fonksiyon uzayında sınırlı kalmaya zorlamakta ve yansıma (reflexivity) zayıf yakınsak bir alt dizi sağlayarak potansiyel bir minimize edici sunmaktadır.
- Zayıf Alttan Yarı Süreklilik ve Dışbükeylik (Convexity)
- Eğer fonksiyonel zayıf alttan yarı sürekli ise, zayıf limitteki değer, limit infimumunu aşmamaktadır ve integrantın gradyanındaki dışbükeyliği (convexity) bu özelliği garanti eden standart koşuldur.
- Minimize Edicilerin Varlığı
- Sınırlılık, zayıf kompaktlık ve alttan yarı sürekliliğin birleşimi, bir minimize edicinin varlığını sağlamakta ve bu minimize edici daha sonra Euler-Lagrange denklemini zayıf anlamda karşılamaktadır.
Klinik önem
Doğrudan yöntem, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler için modern varlık teorisinin ve elastisite, malzeme bilimi ve görüntü işlemedeki varyasyonel modellerin temelini oluşturmaktadır; bu alanlarda minimize ediciler denge konfigürasyonlarını temsil etmektedir.
Tarihçe
Hilbert, 1900 civarında Dirichlet ilkesini doğrulayarak minimize edicilerin varlığının doğrudan belirlenmesini savunmuştur. Tonelli, 1910'larda alttan yarı sürekliliği kullanarak yöntemi sistemleştirmiş ve Sobolev uzaylarının ve Morrey'in yarı dışbükeyliğinin (quasiconvexity) daha sonraki gelişimi, yönteme modern fonksiyonel-analitik formunu kazandırmıştır.
Öne çıkan isimler
- David Hilbert
- Leonida Tonelli
- Charles B. Morrey
- Sergei Sobolev
İlgili konular
Temel eserler
- dacorogna2008
- evans2010
Sıkça sorulan sorular
- Neden sadece Euler-Lagrange denklemini çözmüyoruz?
- Euler-Lagrange denklemi yalnızca gerekli bir koşuldur ve doğrusal olmayan problemler için açıkça çözülmesi veya hatta bir çözümün var olduğunu bilmek imkansız olabilmektedir. Doğrudan yöntem öncelikle bir minimize edicinin varlığını kanıtlamakta, bu da denklemin zayıf bir çözümünü sağlamaktadır.
- Dışbükeylik (convexity) burada neden önemlidir?
- İntegrantın gradyanındaki dışbükeylik (convexity), fonksiyonelin zayıf alttan yarı sürekliliğini garanti etmektedir; bu da minimize edici bir dizinin limitine geçmek için tam olarak gerekli olan özelliktir. Bu özellik olmadan, minimize edici bir dizi salınım yapabilir ve zayıf limiti bir minimize edici olmayabilir.