Euler-Lagrange Denklemleri
Euler-Lagrange denklemleri, etkiyi (action) durağan kılma koşulundan türetilen hareket diferansiyel denklemleridir ve her genelleştirilmiş koordinat için bir denklem bulunmaktadır.
Tanım
Euler-Lagrange denklemleri, bir mekanik sistemin her genelleştirilmiş koordinatının zaman içindeki evrimini yöneten, etki varyasyonunun sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen ikinci dereceden diferansiyel denklemler kümesidir.
Kapsam
Bu konu, Euler-Lagrange denklemlerinin Hamilton ilkesinden türetilmesini, genelleştirilmiş koordinat sistemleri için formlarını, genelleştirilmiş (kanonik) momentumların tanımını, korunan momentumlar sağlayan döngüsel koordinatların ele alınışını ve Lagrange çarpanları aracılığıyla kısıtlamalı sistemlere genişletilmesini kapsamaktadır. Bu denklemler, Lagrangian mekaniğinin merkezi hesaplama çıktısını oluşturmaktadır.
Temel sorular
- Euler-Lagrange denklemleri, durağan etki koşulundan nasıl türetilmektedir?
- Genelleştirilmiş momentum nedir ve ne zaman korunur?
- Kısıtlamalar, Lagrange çarpanları aracılığıyla nasıl dahil edilmektedir?
Anahtar kavramlar
- Genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar
- Genelleştirilmiş (kanonik) momentum
- Döngüsel (ihmal edilebilir) koordinatlar
- Kısıtlamalar için Lagrange çarpanları
- Newton'un ikinci yasası ile eşdeğerlik
Temel kuramlar
- Euler-Lagrange hareket denklemleri
- Durağan etki talep etmek, her genelleştirilmiş koordinat için, genelleştirilmiş momentumun zaman türevini Lagrangian'dan türetilen genelleştirilmiş kuvvete eşitleyen bir denklem vermektedir.
- Döngüsel koordinatlar ve korunan momentumlar
- Lagrangian belirli bir koordinata bağlı olmadığında, ilgili genelleştirilmiş momentum korunur ve bu durum, hareket sabitlerine doğrudan bir yol sağlamaktadır.
Klinik önem
Herhangi uygun koordinatlarda enerjilerden doğrudan hareket denklemleri ürettikleri için, Euler-Lagrange denklemleri robotik, havacılık çoklu cisim dinamiği ve kontrol mühendisliğinde standart bir türetme aracı olarak kullanılmaktadır; zira bu alanlarda Kartezyen kuvvet dengeleri hantal olabilmektedir.
Tarihçe
Euler, 1740'larda varyasyonlar hesabının merkezi denklemini türetmiştir. Lagrange ise bu denklemi genelleştirmiş ve 1788 tarihli Mécanique analytique adlı eserinde mekaniğe sistematik olarak uygulamış, böylece denklemlere ortak adlarını vermiştir. On dokuzuncu yüzyılda Hamilton ilkesi aracılığıyla yeniden yorumlanmaları, varyasyonel kökenlerini açıklığa kavuşturmuştur.
Öne çıkan isimler
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
İlgili konular
Temel eserler
- goldstein2002
- arnold1989
Sıkça sorulan sorular
- Euler-Lagrange denklemleri, Newton yasalarına eşdeğer midir?
- Evet, her ikisinin de tanımladığı sistemler için eşdeğerdir. Kartezyen koordinatlarda, Lagrangian T − V ile Newton'un ikinci yasasını tam olarak yeniden üretmektedirler; ancak herhangi bir genelleştirilmiş koordinatta geçerlidirler ve kısıtlamaları daha temiz bir şekilde ele almaktadırlar.
- Genelleştirilmiş momentum nedir?
- Lagrangian'ın genelleştirilmiş hıza göre türevidir; sıradan Kartezyen koordinatlar için olağan doğrusal momentuma indirgenirken, açısal bir koordinat için açısal momentumdur.