Blok Tasarımları
Bir blok tasarımı, elemanları bloklar halinde düzenleyerek, her çiftin veya daha genel olarak her t-alt kümesinin belirli sayıda blokta birlikte görünmesini sağlar.
Tanım
Dengeli eksik blok tasarımı, sonlu bir nokta kümesinin eşit büyüklükteki alt kümelerinden (bloklardan) oluşan bir koleksiyondur; öyle ki her nokta çifti tam olarak aynı sayıda blokta yer alır.
Kapsam
Bu konu, dengeli eksik blok tasarımlarını ve parametrelerini, gerekli sayma koşullarını, Steiner sistemlerini ve t-tasarımlarını, ayrıca fark kümeleri ve Fisher eşitsizliği dahil olmak üzere varlık ve inşa tekniklerini kapsamaktadır. Kombinatoryal varlık sorularını cebir ve deneysel tasarımın istatistiksel kuramı ile ilişkilendirmektedir.
Temel sorular
- Hangi parametre setleri için dengeli bir tasarım mevcuttur?
- Tasarım parametreleri hangi bölünebilirlik ve sayma koşullarını sağlamalıdır?
- Tasarımlar fark kümelerinden ve sonlu cisimlerden nasıl inşa edilebilir?
- t-tasarımları ve Steiner sistemleri ikili dengeyi nasıl genelleştirmektedir?
Anahtar kavramlar
- Dengeli eksik blok tasarımı
- Tasarım parametreleri (v, b, r, k, lambda)
- Steiner sistemleri
- t-tasarımları
- Fark kümeleri
- İnsidans matrisi
Temel kuramlar
- Fisher eşitsizliği
- Herhangi bir önemsiz olmayan dengeli eksik blok tasarımında, blok sayısı nokta sayısından az değildir; bu, insidans matrisi üzerinde doğrusal cebirsel bir rank argümanı ile kanıtlanmış temel bir kısıtlamadır.
- Bruck-Ryser-Chowla teoremi
- Bu teorem, simetrik bir tasarımın var olabilmesi için parametrelerinin sağlaması gereken aritmetik koşulları belirtir ve belirli izdüşümsel düzlemler de dahil olmak üzere sonsuz sayıda parametre setini dışlamaktadır.
Klinik önem
Blok tasarımları, kökenini deneylerin istatistiksel tasarımından almakta ve bu alanda merkezi bir rol oynamaya devam etmektedir. Tüm tedavilerin aynı anda uygulanamadığı durumlarda adil karşılaştırmalara olanak tanımakta, ayrıca hata düzeltme kodları ve kombinatoryal test paketleri üretmektedir.
Tarihçe
Steiner, 1853'te üçlü sistemlerin varlığına ilişkin sorular ortaya atmıştır; Fisher ve Yates, 1930'larda tarımsal deneyler için tasarımlar geliştirmiş, Bose ve diğerleri ise 20. yüzyılın ortalarında derin bir cebirsel inşa kuramı oluşturmuştur.
Öne çıkan isimler
- Ronald Fisher
- Jakob Steiner
- R. C. Bose
İlgili konular
Temel eserler
- colbourn2007
Sıkça sorulan sorular
- Steiner üçlü sistemi nedir?
- Blokları üçlülerden oluşan bir tasarımdır; öyle ki her nokta çifti tam olarak bir blokta yer alır; bu tür sistemler, nokta sayısı modulo 6'ya göre 1 veya 3'e denk olduğunda mevcuttur.
- Blok tasarımları deneylerde neden faydalıdır?
- Bir deney tüm tedavileri aynı anda test edemediğinde, dengeli bir tasarım her tedavi çiftinin eşit sıklıkta karşılaştırılmasını sağlayarak sistematik yanlılığı ortadan kaldırmaktadır.