Latin Kareleri ve Sonlu Geometriler
Bir Latin karesi, her sembolün her satır ve sütunda bir kez göründüğü kare bir dizidir; sonlu geometriler ise sonlu sayıda nokta ve doğru üzerinde yüksek düzeyde yapılandırılmış insidans sistemleridir.
Tanım
n mertebeli bir Latin karesi, her sembolün her satırda ve her sütunda tam olarak bir kez göründüğü, n'ye n'lik sembollerle doldurulmuş bir dizidir; sonlu bir izdüşümsel düzlem, herhangi iki noktanın tek bir doğru üzerinde yer aldığı ve herhangi iki doğrunun tek bir noktada kesiştiği nokta ve doğru insidans yapısıdır.
Kapsam
Bu konu, Latin karelerini ve karşılıklı ortogonal Latin karelerini, bunların ağlar (nets) ve transvers tasarımlarla (transversal designs) eşdeğerliğini ve sonlu cisimlerden (finite fields) inşa edilen sonlu izdüşümsel (projective) ve afin (affine) düzlemleri ele almaktadır. Ortogonal kareler üzerine klasik Euler varsayımını ve karşılıklı ortogonal Latin kareleri ile sonlu izdüşümsel düzlemler arasındaki derin bağlantıyı içermektedir.
Temel sorular
- Belirli bir mertebeden kaç tane karşılıklı ortogonal Latin karesi var olabilir?
- Hangi mertebeler için tam ortogonal kare kümeleri ve dolayısıyla izdüşümsel düzlemler mevcuttur?
- Sonlu cisimler düzlemleri ve ortogonal kareleri nasıl inşa etmektedir?
- Sonlu kümeler üzerindeki afin ve izdüşümsel geometrileri hangi insidans aksiyomları tanımlamaktadır?
Anahtar kavramlar
- Latin karesi
- Karşılıklı ortogonal Latin kareleri
- Transvers tasarımlar ve ağlar (nets)
- Sonlu izdüşümsel düzlem
- Afin düzlem
- Galois (sonlu) cisimleri
Temel kuramlar
- MOLS ve izdüşümsel düzlemler
- n mertebeli n-1 karşılıklı ortogonal Latin karesinden oluşan tam bir küme, ancak ve ancak n mertebeli sonlu bir izdüşümsel düzlem mevcutsa var olmaktadır; bu durum, Latin kare kombinatoriğini sonlu geometriye bağlamaktadır.
- Euler varsayımının çürütülmesi
- Euler, 4'e göre 2'ye denk olan mertebeler için hiçbir ortogonal Latin kare çiftinin var olmadığını varsaymıştır; Bose, Shrikhande ve Parker bu varsayımı 1960 yılında 2 ve 6 dışındaki tüm bu mertebeler için çürütmüştür.
Klinik önem
Latin kareleri, iki varyasyon kaynağını eş zamanlı olarak kontrol eden satır-sütun deneysel tasarımlar sağlamaktadır; ortogonal diziler faktöriyel deneyleri ve yazılım testlerini desteklemektedir; sonlu geometriler ise kodlar ve tasarımlar üretmektedir.
Tarihçe
Euler, 1782'de otuz altı subay problemi aracılığıyla ortogonal Latin karelerini incelemiştir; varsayımı, 1960'ta Bose, Shrikhande ve Parker tarafından, sözde Euler bozucuları (Euler spoilers) tarafından çürütülene kadar geçerliliğini korumuştur.
Öne çıkan isimler
- Leonhard Euler
- R. C. Bose
- E. T. Parker
İlgili konular
Temel eserler
- colbourn2007
Sıkça sorulan sorular
- İki Latin karesinin ortogonal olması ne anlama gelmektedir?
- İki kare üst üste bindirildiğinde, her sıralı sembol çifti tam olarak bir kez ortaya çıkmaktadır, böylece kareler ızgaranın her hücresini birlikte ayırt etmektedir.
- Bir Sudoku ızgarası bir Latin karesi midir?
- Tamamlanmış bir Sudoku, her üçerli kutunun da her sembolü bir kez içermesi gibi ek bir kısıtlamaya sahip, dokuzuncu mertebeden bir Latin karesidir.