Bayes Teoremi ve Posterior Dağılım
Bayes teoremi, bilinmeyen parametrelerin posterior dağılımını, verinin olabilirlik fonksiyonu ile önsel dağılımın çarpımıyla orantılı olarak ifade etmekte olup, tüm Bayesci çıkarımın temelini oluşturmaktadır.
Tanım
Bayes teoremi, posterior yoğunluğu p(theta | y)'nin, olabilirlik p(y | theta) ile önsel p(theta)'nın çarpımının marjinal olabilirlik p(y)'ye bölünmesiyle elde edildiğini belirtmektedir; p(y) theta'ya bağlı olmadığından, posterior genellikle olabilirlik ile önselin çarpımıyla orantılı olarak yazılmaktadır.
Kapsam
Bu konu, çıkarım için Bayes teoreminin ifadesini ve türetilmesini, orantılılık formunu, posterior dağılımı normalleştiren marjinal olabilirlik fonksiyonunu ve posterior ortalamalar, güvenilirlik aralıkları (credible intervals) ve posterior kestirim dağılımı gibi özetlerin nasıl elde edildiğini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Posterior dağılım, önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonundan nasıl türetilmektedir?
- Marjinal olabilirlik nedir ve neden bir normalleştirme sabiti olarak işlev görmektedir?
- Nokta tahminleri ve güvenilirlik aralıkları (credible intervals) bir posterior dağılımdan nasıl elde edilmektedir?
- Posterior kestirim dağılımı nedir ve nasıl hesaplanmaktadır?
Anahtar kavramlar
- önsel dağılım
- olabilirlik fonksiyonu
- posterior dağılım
- marjinal olabilirlik
- güvenilirlik aralığı
- posterior kestirim dağılımı
- normalleştirme sabiti
Temel kuramlar
- Posterior Orantılılık
- Marjinal olabilirlik parametreye göre sabit olduğundan, çıkarım yalnızca olabilirlik ve önselin normalleştirmeye kadar olan çarpımına bağlıdır; bu, çoğu hesaplama yönteminin kullandığı formdur.
- Posterior Kestirim Dağılımı
- Gelecekteki veya tekrarlanan veriler, bir nokta tahmini yerine parametre belirsizliğini entegre ederek, örnekleme dağılımının posterior üzerinden ortalaması alınarak tahmin edilmektedir.
Klinik önem
Posterior çıkarım, tanı testlerinin yorumlanması, fizik bilimlerinde parametre tahmini ve olasılıksal tahmin gibi, ilgi duyulan bir niceliğin kalibre edilmiş belirsizlikle tahmin edilmesi gereken her yerde kullanılmaktadır.
Tarihçe
Bu kural, Bayes'in 1763 tarihli makalesinden kaynaklanmakta ve Laplace tarafından ters olasılık yöntemine genelleştirilmiştir. Tek bir ters olasılık tahmini yerine tam posterior dağılımına modern vurgu, 20. yüzyıl Bayesci literatüründe pekiştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- Thomas Bayes
- Pierre-Simon Laplace
- Harold Jeffreys
İlgili konular
Temel eserler
- gelman2013
- bayes1763
Sıkça sorulan sorular
- Güvenilirlik aralığı (credible interval) nedir?
- Güvenilirlik aralığı, parametreyi belirtilen bir posterior olasılıkla (örneğin %95) içeren bir aralıktır; bir frekansçı güven aralığının aksine, veri ve önsel dağılım verildiğinde parametre hakkında doğrudan bir olasılık ifadesidir.
- Posterior, marjinal olabilirlik hesaplanmadan neden yazılabilmektedir?
- Marjinal olabilirlik, parametreye göre sabit bir değerdir, bu nedenle posterioru yalnızca yeniden ölçeklendirmektedir; MCMC gibi birçok algoritma posterioru yalnızca bu sabite kadar ihtiyaç duymaktadır.