Küme Kuramsal Paradokslar ve Tip Kuramı
Kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi hem kendini içerir hem de içermez — Russell paradoksu, naif küme kuramını yıkmış ve mantığın temellerini yeniden şekillendirmiştir.
Tanım
Küme kuramsal paradokslar, naif küme kuramında, her koşulun bir küme tanımladığı sınırsız kapsama ilkesinden (unrestricted comprehension principle) türetilebilen çelişkilerdir; tip kuramı ise varlıkları bir tip hiyerarşisi içinde sıralayarak ve bir kümenin kendine ait olmasını yasaklayarak bu paradoksları engellemektedir.
Kapsam
Bu konu, mantıksal ve küme kuramsal paradoksları ile bunların yol açtığı temel yanıtları kapsamaktadır. Kendi kendine üye olmayan tüm kümelerin kümesi paradoksu olan Russell paradoksu, en büyük sıra sayısının Burali-Forti paradoksu ve evrensel kümenin Cantor paradoksu; Russell'ın kısır döngü ilkesi (vicious-circle principle) aracılığıyla yaptığı teşhis ve bunun sonucunda Principia Mathematica'da ortaya çıkan dallanmış tip kuramı (ramified theory of types); ve paradokslardan kaçınmak için kapsamayı (comprehension) kısıtlayan aksiyomatik (Zermelo-Fraenkel) küme kuramının alternatif yanıtı ele alınmaktadır.
Temel sorular
- Naif küme kuramındaki hangi varsayım Russell paradoksunu üretmektedir?
- Paradokslardan kaçınmak, bir kısır döngü ilkesi ve tip kısıtlamaları gerektirmekte midir?
- Tip kuramı ve aksiyomatik küme kuramı, yanıtlar açısından nasıl farklılaşmaktadır?
- Mantıksal paradokslar, anlamsal paradokslarla temel olarak aynı mıdır?
Anahtar kavramlar
- sınırsız kapsama
- Russell paradoksu
- Burali-Forti ve Cantor paradoksları
- kısır döngü ilkesi
- tip kuramı
- ayırma aksiyomu
Temel kuramlar
- Dallanmış tip kuramı
- Russell, paradoksları kısır döngü ilkesi ve bir varlığın yalnızca hiyerarşide daha alt seviyedeki varlıklar üzerinden tanımlanabileceği bir tip hiyerarşisi ile engellemektedir; bu durum, kendi kendine üyelik ve kendi kendine uygulanabilir tanımları önlemektedir.
- Kısıtlı kapsama
- Aksiyomatik küme kuramı (Zermelo-Fraenkel), sınırsız kapsamayı ayırma ve yerine koyma aksiyomları (separation and replacement axioms) lehine terk ederek, kendi kendine üye olmayan tüm kümelerin bir kümesinin oluşturulmasını engeller ve böylece Russell paradoksunu bir tip hiyerarşisine gerek kalmadan çözmektedir.
Tarihçe
Russell, paradoksunu 1901 yılında Frege'nin mantıkçılığını incelerken keşfetmiş ve Frege'nin Temel Yasa V'ini zayıflatmıştır. Russell'ın 1908 tip kuramı ve 1910 tarihli Principia Mathematica bir çözüm sunarken; Zermelo'nun 1908 aksiyomatizasyonu, daha sonra Fraenkel tarafından genişletilerek başka bir çözüm sunmuştur. Bu iki yaklaşım, modern temelleri ve mantık ile bilgisayar bilimlerinde kullanılan basit tip kuramını şekillendirmektedir.
Tartışmalar
- Tipler ve aksiyomatik küme kuramı
- Paradokslardan en iyi şekilde, kısır döngü ilkesine dayanan bir tip hiyerarşisiyle mi yoksa küme varoluş aksiyomlarının kısıtlanmasıyla mı kaçınılacağı ve her bir yaklaşımın kümelerin, sınıfların ve yüklemsel (predicative) ile yüklemsel olmayan (impredicative) tanımların doğası hakkında ne anlama geldiği tartışılmaktadır.
Öne çıkan isimler
- Bertrand Russell
- Alfred North Whitehead
- Gottlob Frege
- Ernst Zermelo
- Cesare Burali-Forti
İlgili konular
Temel eserler
- russell1908
- whiteheadrussell1910
Sıkça sorulan sorular
- Russell paradoksu basit terimlerle nedir?
- Kendilerine üye olmayan tüm kümelerin R kümesini ele alalım. R'nin kendine üye olup olmadığını soralım. Eğer üye ise, kendi tanımına göre üye olmaması gerekir; eğer üye değilse, o zaman bu tanıma uyar ve üye olması gerekir. Her iki yanıt da birbiriyle çelişmektedir, bu da naif küme kuramının herhangi bir özelliğin bir küme tanımladığı varsayımının yanlış olması gerektiğini göstermektedir.