การไหลแบบหนืดและสมการนาเวียร์-สโตกส์

การไหลแบบหนืดพิจารณาแรงเสียดทานภายในของของไหล โดยมีสมการควบคุมคือสมการนาเวียร์-สโตกส์ ซึ่งแสดงถึงความสมดุลระหว่างความเฉื่อยและความหนืดที่อธิบายได้ด้วยเลขเรย์โนลด์

Definition

การไหลแบบหนืดคือการเคลื่อนที่ของของไหลที่มีแรงเสียดทานภายใน ซึ่งควบคุมโดยสมการนาเวียร์-สโตกส์ที่เพิ่มความเค้นหนืดเข้าไปในสมการออยเลอร์แบบไม่มีความหนืด โดยลักษณะการไหลจะถูกกำหนดโดยเลขเรย์โนลด์

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสมการนาเวียร์-สโตกส์ที่เพิ่มความเค้นหนืดเข้าไปในสมการของออยเลอร์, เงื่อนไขขอบเขตแบบไม่ลื่น (no-slip boundary condition), เลขเรย์โนลด์ในฐานะอัตราส่วนของแรงเฉื่อยต่อแรงหนืด, ผลเฉลยที่แน่นอน เช่น การไหลแบบปัวซุยล์ (Poiseuille flow) และการไหลแบบคูเอตต์ (Couette flow), ทฤษฎีชั้นขอบเขต (boundary-layer theory) และการเริ่มต้นของความปั่นป่วน (turbulence) ซึ่งเป็นการอธิบายของไหลที่มีแรงเสียดทานภายในได้อย่างสมจริง

Core questions

• ความเค้นหนืดปรับเปลี่ยนสมการการเคลื่อนที่ของของไหลอย่างไร?
• เลขเรย์โนลด์วัดอะไร และเหตุใดจึงควบคุมพฤติกรรมการไหล?
• การไหลแบบราบเรียบเปลี่ยนไปสู่ความปั่นป่วนได้อย่างไรเมื่อเลขเรย์โนลด์เพิ่มขึ้น?

Key concepts

• ความหนืดและความเค้นหนืด
• สมการนาเวียร์-สโตกส์
• เงื่อนไขขอบเขตแบบไม่ลื่น
• เลขเรย์โนลด์
• การไหลแบบราบเรียบและการไหลแบบปั่นป่วน
• ชั้นขอบเขต

Key theories

สมการนาเวียร์-สโตกส์

การเพิ่มความเค้นหนืดที่เป็นสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงความเครียด (rate of strain) เข้าไปในสมการของออยเลอร์ ทำให้ได้สมการนาเวียร์-สโตกส์ ซึ่งเป็นสมการพื้นฐานที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของของไหลหนืดจริง

เลขเรย์โนลด์และลักษณะการไหล

เลขเรย์โนลด์ซึ่งเป็นเลขไร้มิติ เปรียบเทียบแรงเฉื่อยกับแรงหนืด ค่าต่ำแสดงถึงการไหลแบบราบเรียบที่เป็นระเบียบซึ่งถูกครอบงำด้วยความหนืด และค่าสูงนำไปสู่ความไม่เสถียรและเกิดความปั่นป่วน

Clinical relevance

สมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นแบบจำลองที่ใช้ในการศึกษาอากาศพลศาสตร์, ไฮดรอลิกส์, การไหลในท่อและช่องทาง, การหล่อลื่น, และการหมุนเวียนของสภาพอากาศและมหาสมุทร ในขณะที่การเปลี่ยนผ่านจากการไหลแบบราบเรียบไปสู่การไหลแบบปั่นป่วนและพฤติกรรมของชั้นขอบเขตมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อแรงต้าน, การผสม, และการถ่ายเทความร้อนในงานวิศวกรรมและธรณีฟิสิกส์

History

นาเวียร์ได้นำเสนอพจน์ความหนืดเข้าสู่สมการของไหลในปี 1822 และสโตกส์ได้ให้การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดในปี 1840s การทดลองในท่อของออสบอร์น เรย์โนลด์ในปี 1883 ได้ระบุเลขไร้มิติที่ควบคุมการเปลี่ยนผ่านจากการไหลแบบราบเรียบไปสู่การไหลแบบปั่นป่วน และแนวคิดชั้นขอบเขตของปรันด์ทล์ในปี 1904 ได้เชื่อมโยงการไหลแบบหนืดและการไหลแบบอุดมคติเข้าด้วยกัน ซึ่งเป็นรากฐานของพลศาสตร์ของไหลสมัยใหม่

Key figures

• Claude-Louis Navier
• George Gabriel Stokes
• Osborne Reynolds
• Ludwig Prandtl

Seminal works

• landaufluid1987
• batchelor2000

Frequently asked questions

เลขเรย์โนลด์บอกอะไรเรา?

เป็นอัตราส่วนของแรงเฉื่อยต่อแรงหนืดในการไหล เลขเรย์โนลด์ที่น้อยแสดงถึงการไหลแบบราบเรียบที่ถูกครอบงำด้วยความหนืด ในขณะที่ค่ามากแสดงถึงการไหลที่ถูกครอบงำด้วยความเฉื่อยและมีแนวโน้มที่จะเกิดความปั่นป่วน

เหตุใดสมการนาเวียร์-สโตกส์จึงยากที่จะหาคำตอบ?

สมการเหล่านี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้น และพจน์ความเฉื่อยแบบไม่เชิงเส้นจะเชื่อมโยงขนาดของการเคลื่อนที่ ทำให้เกิดความปั่นป่วน การมีอยู่และความเรียบของผลเฉลยทั่วไปยังคงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เปิดกว้าง