ความยืดหยุ่นและความสัมพันธ์ระหว่างความเค้น-ความเครียด

ความยืดหยุ่นอธิบายว่าของแข็งมีการเปลี่ยนรูปภายใต้ภาระและกลับคืนสู่รูปร่างเดิมได้อย่างไร โดยเชื่อมโยงเทนเซอร์ความเค้นภายในเข้ากับเทนเซอร์ความเครียดผ่านค่าคงที่ความยืดหยุ่นของวัสดุ

Definition

ความยืดหยุ่นคือทฤษฎีต่อเนื่องของการเปลี่ยนรูปย้อนกลับของของแข็ง ซึ่งเทนเซอร์ความเค้นที่อธิบายแรงภายในมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงกับเทนเซอร์ความเครียดที่อธิบายการเปลี่ยนรูปผ่านโมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุ สำหรับการเปลี่ยนรูปขนาดเล็ก

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดของของแข็งที่เปลี่ยนรูปได้, กฎของฮุกแบบทั่วไปที่เชื่อมโยงกัน, โมดูลัสความยืดหยุ่น (โมดูลัสของยัง, โมดูลัสเฉือน, โมดูลัสเชิงปริมาตร, อัตราส่วนของปัวซง) สำหรับวัสดุไอโซทรอปิก, สมการสมดุลความยืดหยุ่น, และพลังงานความยืดหยุ่นที่สะสมอยู่ในวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้ เป็นการอธิบายการเปลี่ยนรูปย้อนกลับขนาดเล็กในเชิงกลศาสตร์ของเนื้อต่อเนื่อง

Core questions

• เทนเซอร์ความเค้นและความเครียดอธิบายสถานะของของแข็งที่เปลี่ยนรูปได้อย่างไร?
• กฎของฮุกแบบทั่วไปเชื่อมโยงอะไร และผ่านโมดูลัสใดบ้าง?
• พลังงานความยืดหยุ่นของวัตถุที่เปลี่ยนรูปแสดงออกได้อย่างไร?

Key concepts

• เทนเซอร์ความเค้น
• เทนเซอร์ความเครียด
• โมดูลัสของยังและอัตราส่วนของปัวซง
• โมดูลัสเฉือนและโมดูลัสเชิงปริมาตร
• พลังงานความยืดหยุ่น
• สมการสมดุล

Key theories

กฎของฮุกแบบทั่วไป

สำหรับการเปลี่ยนรูปขนาดเล็ก เทนเซอร์ความเค้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของเทนเซอร์ความเครียด สำหรับวัสดุไอโซทรอปิก สิ่งนี้จะลดลงเหลือค่าคงที่ความยืดหยุ่นอิสระสองค่าที่เชื่อมโยงความเค้นและความเครียด

สมการสมดุลความยืดหยุ่น

การสมดุลความเค้นภายในกับแรงภายนอกที่กระทำต่อวัตถุจะให้สมการสมดุล ซึ่งผลเฉลยจะให้สนามการเปลี่ยนรูปของวัตถุที่มีความยืดหยุ่นภายใต้ภาระและเงื่อนไขขอบเขต

Clinical relevance

ทฤษฎีความยืดหยุ่นเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางวิศวกรรมโครงสร้างและกลศาสตร์ ซึ่งควบคุมการออกแบบคาน เสา ภาชนะรับความดัน และชิ้นส่วนเครื่องจักร การทำนายการโก่งตัวและความเสียหายภายใต้ภาระ และการสร้างแบบจำลองเนื้อเยื่อชีวภาพที่มีความยืดหยุ่นในชีวกลศาสตร์

History

กฎของฮุกในศตวรรษที่สิบเจ็ดที่ระบุว่าการยืดตัวเป็นสัดส่วนกับแรง เป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาความยืดหยุ่น ซึ่ง Navier และ Cauchy ได้พัฒนาให้เป็นทฤษฎีต่อเนื่องในทศวรรษที่ 1820 ด้วยการนำเสนอเทนเซอร์ความเค้นและค่าคงที่ความยืดหยุ่น Green และนักวิชาการท่านอื่น ๆ ได้วางรากฐานพลังงานความยืดหยุ่นบนหลักการทางอุณหพลศาสตร์ที่มั่นคง และทฤษฎีนี้ได้กลายเป็นหัวใจสำคัญของวิศวกรรมในศตวรรษที่สิบเก้า

Key figures

• Robert Hooke
• Augustin-Louis Cauchy
• Claude-Louis Navier
• George Green

Seminal works

• landauelasticity1986
• timoshenko1970

Frequently asked questions

ความแตกต่างระหว่างความเค้นและความเครียดคืออะไร?

ความเครียดคือการวัดการเปลี่ยนรูปของวัสดุที่ไม่มีหน่วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของความยาวหรือรูปร่าง ในขณะที่ความเค้นคือแรงภายในต่อหน่วยพื้นที่ที่วัสดุพัฒนาขึ้นเพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนรูป ความยืดหยุ่นจะเชื่อมโยงทั้งสองเข้าด้วยกัน

เหตุใดค่าคงที่ความยืดหยุ่นสองค่าจึงเพียงพอสำหรับวัสดุไอโซทรอปิก?

ความเป็นไอโซทรอปิกหมายความว่าวัสดุมีการตอบสนองเหมือนกันในทุกทิศทาง ซึ่งจำกัดเทนเซอร์ความยืดหยุ่นทั่วไปให้เหลือเพียงค่าคงที่อิสระสองค่า ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้เป็นโมดูลัสของยังและอัตราส่วนของปัวซง หรือโมดูลัสเฉือนและโมดูลัสเชิงปริมาตร