การอินทิเกรตแบบ Verlet

อัลกอริทึม Verlet และรูปแบบความเร็วของมันเป็นตัวอินทิเกรตมาตรฐานของการพลศาสตร์โมเลกุล ซึ่งเป็นที่นิยมเนื่องจากสามารถย้อนกลับเวลาได้ (time-reversible) เป็นแบบซิมเพล็กติก (symplectic) และรักษาพลังงานได้ดีตลอดการจำลองที่ต้องใช้หลายล้านขั้นตอน

Definition

การอินทิเกรตแบบ Verlet เป็นวิธีการที่สามารถย้อนกลับเวลาได้และเป็นแบบซิมเพล็กติกสำหรับการอินทิเกรตสมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งปรับปรุงตำแหน่งอนุภาคโดยใช้ตำแหน่งปัจจุบันและตำแหน่งก่อนหน้า รวมถึงความเร่ง ทำให้ได้วิถีการเคลื่อนที่ที่เสถียรสำหรับการพลศาสตร์โมเลกุล

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมกลุ่มตัวอินทิเกรตในตระกูล Verlet ได้แก่ แผนการ Verlet ตำแหน่งดั้งเดิม, รูปแบบ leapfrog และ velocity Verlet ที่เทียบเท่ากัน, คุณสมบัติการย้อนกลับเวลาได้และโครงสร้างซิมเพล็กติกของพวกมัน, และการอนุรักษ์พลังงานในระยะยาวที่เป็นผลลัพธ์จากการใช้วิธีการเหล่านี้ นอกจากนี้ยังจัดวางวิธีการเหล่านี้ให้อยู่ในกรอบทฤษฎีที่กว้างขึ้นของการอินทิเกรตแบบซิมเพล็กติกของระบบแฮมิลตัน (Hamiltonian systems)

Core questions

• แผนการ Verlet ก้าวหน้าตำแหน่งและความเร็วจากแรงได้อย่างไร?
• เหตุใดอัลกอริทึม Verlet จึงสามารถย้อนกลับเวลาได้และเป็นแบบซิมเพล็กติก?
• เหตุใดการอินทิเกรตแบบ Verlet จึงรักษาพลังงานได้ดีตลอดการจำลองที่ยาวนานมาก?
• รูปแบบ Verlet ตำแหน่ง, leapfrog และ velocity Verlet มีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

Key theories

โครงสร้างแบบซิมเพล็กติกและย้อนกลับเวลาได้

การอินทิเกรตแบบ Verlet รักษาเรขาคณิตซิมเพล็กติกของปริภูมิเฟส (phase space) และไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การย้อนกลับเวลา ซึ่งร่วมกันป้องกันการเลื่อนของพลังงานอย่างเป็นระบบที่มักเกิดขึ้นกับตัวอินทิเกรตที่ไม่ใช่ซิมเพล็กติกของระบบอนุรักษ์

การอนุรักษ์แฮมิลตันเงา (Shadow Hamiltonian)

แม้ว่าวิถีการเคลื่อนที่แบบไม่ต่อเนื่องของ Verlet จะไม่รักษาพลังงานที่แท้จริงได้อย่างแม่นยำ แต่ก็เกือบจะรักษาแฮมิลตันเงาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ทำให้ข้อผิดพลาดของพลังงานถูกจำกัดและเป็นแบบแกว่งไปมาแทนที่จะเพิ่มขึ้น

รูปแบบที่เทียบเท่ากัน

แผนการ Verlet ตำแหน่ง, leapfrog และ velocity Verlet สร้างวิถีการเคลื่อนที่เดียวกัน แต่แตกต่างกันในวิธีการและเวลาที่ความเร็วพร้อมใช้งาน โดย velocity Verlet เป็นที่นิยมเมื่อต้องการตำแหน่งและความเร็วที่ซิงโครไนซ์กัน

Clinical relevance

การอินทิเกรตแบบ Verlet เป็นกลไกการก้าวเวลาเริ่มต้นในรหัสพลศาสตร์โมเลกุลแทบทั้งหมด ตั้งแต่ของไหล Lennard-Jones อย่างง่ายไปจนถึงการจำลองชีวโมเลกุลขนาดใหญ่ และหลักการซิมเพล็กติกเดียวกันนี้ยังใช้ในการอินทิเกรตวงโคจรระยะยาวในทางดาราศาสตร์

History

แผนการนี้ถูกใช้โดยนักดาราศาสตร์ Carl Stormer ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 และได้รับความนิยมสำหรับการจำลองโมเลกุลโดย Loup Verlet ในการศึกษาของเขาในปี 1967 เกี่ยวกับของไหล Lennard-Jones; การวิเคราะห์ในภายหลังแสดงให้เห็นว่ามันเป็นตัวอินทิเกรตแบบซิมเพล็กติก ซึ่งอธิบายถึงความเสถียรในระยะยาวที่ยอดเยี่ยมของมัน

Key figures

• Loup Verlet
• Carl Stormer
• Ernst Hairer

Seminal works

• verlet1967
• hairer1993

Frequently asked questions

เหตุใด Verlet จึงเป็นที่นิยมมากกว่าวิธีการ Runge-Kutta ที่มีอันดับสูงกว่าในการพลศาสตร์โมเลกุล?

แม้ว่า Runge-Kutta อาจมีความแม่นยำต่อขั้นตอนมากกว่า แต่ก็ไม่ใช่แบบซิมเพล็กติกและพลังงานจะค่อยๆ เลื่อนไปเรื่อยๆ ในการจำลองระยะยาว โครงสร้างแบบซิมเพล็กติกและย้อนกลับเวลาได้ของ Verlet ช่วยให้พลังงานถูกจำกัดอยู่ในช่วงที่แน่นอนตลอดหลายล้านขั้นตอน ซึ่งสำคัญกว่าความแม่นยำต่อขั้นตอนสำหรับการจำลองสมดุล

Verlet อนุรักษ์พลังงานได้อย่างแม่นยำหรือไม่?

ไม่ มันอนุรักษ์แฮมิลตันเงาที่อยู่ใกล้เคียงแทนที่จะเป็นพลังงานที่แม่นยำ ดังนั้นพลังงานที่วัดได้จะแกว่งไปมาภายในช่วงที่จำกัดแทนที่จะเลื่อนออกไป ซึ่งเพียงพอสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยทางเทอร์โมไดนามิกที่เสถียร