ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขในฟิสิกส์เชิงคำนวณ
ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขช่วยให้ฟิสิกส์มีกลไกเชิงขั้นตอนวิธีในการแก้สมการที่ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด เปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ ปริพันธ์ และปัญหาเมทริกซ์ให้เป็นการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบจำกัดที่คอมพิวเตอร์สามารถดำเนินการได้โดยมีการควบคุมข้อผิดพลาด
Definition
ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขในฟิสิกส์เชิงคำนวณคือขั้นตอนวิธีในการทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องและการประมาณค่าที่ใช้ในการแปลงแบบจำลองทางฟิสิกส์แบบต่อเนื่องให้เป็นการคำนวณแบบจำกัด โดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดจากการตัดทอน เสถียรภาพเชิงตัวเลข และการอนุรักษ์ปริมาณคงที่ทางฟิสิกส์
Scope
สาขานี้ครอบคลุมชุดเครื่องมือเชิงตัวเลขหลักที่เป็นรากฐานของฟิสิกส์เชิงคำนวณ: ตัวอินทิเกรตสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธีการสำหรับปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นขนาดใหญ่และปัญหาค่าเฉพาะที่เกิดจากการทำให้ฟิสิกส์เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง และการหาค่ารากและการหาค่าเหมาะสมที่สุดสำหรับเงื่อนไขทางฟิสิกส์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยเน้นความแม่นยำ เสถียรภาพ และการตีความทางฟิสิกส์ของการทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง มากกว่าการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเชิงนามธรรมเพื่อตัวมันเอง
Sub-topics
Core questions
- สมการเชิงอนุพันธ์แบบต่อเนื่องทางฟิสิกส์ถูกเปลี่ยนเป็นแผนการผลต่างจำกัดหรือไฟไนต์เอลิเมนต์ที่เสถียรและแม่นยำได้อย่างไร?
- อะไรเป็นตัวควบคุมการแลกเปลี่ยนระหว่างขนาดขั้น ข้อผิดพลาดจากการตัดทอน และเสถียรภาพในตัวอินทิเกรต?
- ระบบเชิงเส้นแบบสปาร์สขนาดใหญ่และปัญหาค่าเฉพาะที่ได้จากการทำให้ฟิสิกส์เป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้รับการแก้ไขอย่างมีประสิทธิภาพได้อย่างไร?
- แผนการเชิงตัวเลขรักษาปริมาณคงที่ทางฟิสิกส์ เช่น พลังงาน โมเมนตัม หรือโครงสร้างซิมเพล็กติกได้อย่างไร?
Key theories
- การทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องและข้อผิดพลาดจากการตัดทอน
- การแทนที่อนุพันธ์และปริพันธ์ด้วยการประมาณค่าผลต่างจำกัดหรือการประมาณค่าเชิงปริพันธ์ (quadrature) ทำให้เกิดข้อผิดพลาดจากการตัดทอนที่แปรผันตามกำลังของขนาดขั้น ซึ่งกำหนดอันดับความแม่นยำของแผนการ
- เสถียรภาพเชิงตัวเลข
- แผนการจะเสถียรหากข้อผิดพลาดไม่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดเมื่อมีการทำซ้ำ; เงื่อนไขเสถียรภาพ เช่น เกณฑ์ Courant-Friedrichs-Lewy จำกัดช่วงเวลาและช่วงพื้นที่ที่ยอมรับได้สำหรับสมการวิวัฒนาการ
- พีชคณิตเชิงเส้นแบบสปาร์สและปัญหาค่าเฉพาะ
- ตัวดำเนินการทางฟิสิกส์ที่ทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องจะให้เมทริกซ์สปาร์สขนาดใหญ่ ซึ่งระบบเชิงเส้นและค่าเฉพาะจะถูกหาได้ด้วยวิธีการวนซ้ำแบบ Krylov, Lanczos และ conjugate-gradient แทนที่จะเป็นการแยกตัวประกอบแบบหนาแน่น
Clinical relevance
ระเบียบวิธีเหล่านี้เป็นรากฐานของฟิสิกส์เชิงปริมาณเกือบทั้งหมดที่ทำบนคอมพิวเตอร์: การอินทิเกรตวงโคจรและวิถีโคจร ตัวแก้สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและสนามควอนตัม การจำลองการไหลของของไหลและการถ่ายเทความร้อน และการแก้ปัญหาเมทริกซ์ที่อยู่เบื้องหลังโครงสร้างอิเล็กทรอนิกส์และแบบจำลองแลตทิซ
History
การแก้สมการทางฟิสิกส์เชิงตัวเลขมีมาตั้งแต่การคำนวณด้วยมือในกลศาสตร์ท้องฟ้าและขีปนาวุธ ได้รับการเปลี่ยนแปลงโดยคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ที่สร้างขึ้นสำหรับฟิสิกส์ในยามสงครามในทศวรรษ 1940 และพัฒนาเป็นระเบียบวิธีมาตรฐานผ่านงานอ้างอิง เช่น Numerical Recipes และการเพิ่มขึ้นของหลักสูตรฟิสิกส์เชิงคำนวณในช่วงปลายศตวรรษที่ยี่สิบ
Key figures
- John von Neumann
- William H. Press
- Cornelius Lanczos
- Rubin H. Landau
Related topics
Seminal works
- press2007
- landau2015
Frequently asked questions
- ทำไมไม่ใช้ขนาดขั้นที่เล็กมากเพื่อให้ได้ความแม่นยำสูง?
- การลดขนาดขั้นจะช่วยลดข้อผิดพลาดจากการตัดทอน แต่จะเพิ่มจำนวนขั้นและการสะสมของข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ และสำหรับบางแผนการแบบชัดแจ้ง ขนาดขั้นที่ใหญ่เกินไปอาจทำให้เกิดความไม่เสถียรมากกว่าความไม่แม่นยำเพียงอย่างเดียว วิธีการที่ดีจะสร้างสมดุลระหว่างอันดับความแม่นยำ เสถียรภาพ และต้นทุน แทนที่จะอาศัยการใช้ขนาดขั้นเล็กๆ แบบหยาบๆ
- ฟิสิกส์เชิงตัวเลขแตกต่างจากการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอย่างไร?
- การวิเคราะห์เชิงตัวเลขศึกษาขั้นตอนวิธีและขอบเขตข้อผิดพลาดโดยทั่วไป ในขณะที่ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขในฟิสิกส์จะเลือกและปรับขั้นตอนวิธีเหล่านั้นให้เข้ากับสมการทางฟิสิกส์ โดยให้ความสำคัญกับกฎการอนุรักษ์ สมมาตร และการตีความทางฟิสิกส์ของแบบจำลองที่ทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง