ฟีลด์ p-adic และฟีลด์เฉพาะที่

ฟีลด์ p-adic สร้างขึ้นโดยการเติมเต็มจำนวนตรรกยะสำหรับค่าสัมบูรณ์ p-adic; วงแหวนของจำนวนเต็ม p-adic, ฟีลด์ส่วนตกค้าง และตัวทำให้เป็นเอกรูป ทำให้เป็นตัวอย่างต้นแบบของฟีลด์เฉพาะที่ ซึ่งเป็นแหล่งกำเนิดตามธรรมชาติของการคำนวณเลขคณิตที่จำนวนเฉพาะตัวเดียว

Definition

ค่าสัมบูรณ์ p-adic ของจำนวนตรรกยะถูกกำหนดโดยกำลังของ p ที่หารมัน ฟีลด์ของจำนวน p-adic คือการเติมเต็มของจำนวนตรรกยะภายใต้ค่าสัมบูรณ์นี้; ฟีลด์เฉพาะที่คือฟีลด์ที่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องและมีฟีลด์ส่วนตกค้างจำกัด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการประเมินค่า p-adic และค่าสัมบูรณ์, อสมการอุลตราเมตริก, การจำแนกค่าสัมบูรณ์บนจำนวนตรรกยะของ Ostrowski, การสร้างจำนวน p-adic และวงแหวนของจำนวนเต็ม p-adic, อุดมคติสูงสุด, ฟีลด์ส่วนตกค้าง และตัวทำให้เป็นเอกรูป, การอธิบายองค์ประกอบโดยการขยายตัวเลข p-adic, ทฤษฎีบทของ Hensel สำหรับการยกกำลังราก, และแนวคิดทั่วไปของฟีลด์เฉพาะที่ในฐานะฟีลด์ที่สมบูรณ์ซึ่งมีค่าประเมินแบบไม่ต่อเนื่องและมีฟีลด์ส่วนตกค้างจำกัด

Core questions

• ค่าสัมบูรณ์ p-adic ถูกกำหนดอย่างไร และเหตุใดจึงเป็นไปตามอสมการอุลตราเมตริกที่แข็งแกร่ง?
• เหตุใดทฤษฎีบทของ Ostrowski จึงกล่าวว่าสิ่งเหล่านี้เป็นค่าสัมบูรณ์เดียวบนจำนวนตรรกยะ นอกเหนือจากค่าสัมบูรณ์ปกติ?
• จำนวนเต็ม p-adic คืออะไร และการขยายตัวเลขและฟีลด์ส่วนตกค้างอธิบายโครงสร้างของมันอย่างไร?
• ทฤษฎีบทของ Hensel ยกกำลังคำตอบจากฟีลด์ส่วนตกค้างไปยังฟีลด์เฉพาะที่ทั้งหมดได้อย่างไร?

Key theories

ทฤษฎีบทของ Ostrowski และการเติมเต็ม

ทุกค่าสัมบูรณ์ที่ไม่เป็นศูนย์บนจำนวนตรรกยะเทียบเท่ากับค่าสัมบูรณ์ปกติหรือค่าสัมบูรณ์ p-adic; การเติมเต็มภายใต้แต่ละค่าจะให้จำนวนจริงหรือฟีลด์ p-adic ซึ่งแสดงถึงทุกตำแหน่งของจำนวนตรรกยะ

โครงสร้างของจำนวนเต็ม p-adic

จำนวนเต็ม p-adic ก่อตัวเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบกระชับที่มีอุดมคติสูงสุดที่สร้างโดย p และฟีลด์ส่วนตกค้างคือจำนวนเต็มมอดุโล p; จำนวน p-adic ทุกตัวมีการขยายฐาน-p ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งอาจเป็นอนันต์ทางขวา

ทฤษฎีบทของ Hensel

รากง่ายของพหุนามมอดุโล p จะยกกำลังขึ้นเป็นรากในจำนวนเต็ม p-adic ได้อย่างไม่ซ้ำกัน; สิ่งนี้ทำให้ฟีลด์เฉพาะที่มีพฤติกรรมเหมือนการขยายตัวทางพีชคณิตที่สะดวกของฟีลด์ส่วนตกค้าง

Clinical relevance

ฟีลด์เฉพาะที่เป็นฉากสำหรับการทฤษฎีฟีลด์ชั้นเฉพาะที่และสำหรับองค์ประกอบเฉพาะที่ของการแสดงแทนอัตโนมัติในโปรแกรม Langlands; การยกกำลังของ Hensel ยังเป็นเครื่องมืออัลกอริทึมในการแยกตัวประกอบพหุนามและการคำนวณอย่างรวดเร็วแบบมอดุโลกำลังของจำนวนเฉพาะ

History

Hensel ได้นำเสนอจำนวน p-adic ในปี 1897 เพื่อนำเทคนิคอนุกรมกำลังมาใช้ในทฤษฎีจำนวน และพิสูจน์ทฤษฎีบทการยกกำลังที่ตั้งชื่อตามเขา Ostrowski ได้จำแนกค่าสัมบูรณ์บนจำนวนตรรกยะในปี 1916 โดยชี้แจงว่าการเติมเต็มจำนวนจริงและ p-adic ครอบคลุมความเป็นไปได้ทั้งหมดและเป็นพื้นฐานของมุมมองเฉพาะที่

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

ตัวทำให้เป็นเอกรูปคืออะไร?

เป็นตัวสร้างของอุดมคติสูงสุดของวงแหวนการประเมินค่าของฟีลด์เฉพาะที่; สำหรับจำนวน p-adic จำนวนเฉพาะ p เองทำหน้าที่เป็นตัวทำให้เป็นเอกรูป และทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์คือหน่วยคูณด้วยกำลังของมัน

เหตุใดจำนวนเต็ม p-adic จึงกระชับ?

เป็นลิมิตผกผันของวงแหวนจำกัดของจำนวนเต็มมอดุโลกำลังของ p ซึ่งทำให้เป็นเซตปิดและมีขอบเขตในเมตริก p-adic และด้วยเหตุนี้จึงกระชับ ซึ่งแตกต่างจากจำนวนเต็มปกติ