การแตกกิ่งและทฤษฎีกาลัวส์ของฟีลด์จำนวน

เมื่อพิจารณาจำนวนเฉพาะของฟีลด์จำนวนหนึ่งในฟีลด์ที่ใหญ่ขึ้น จำนวนเฉพาะนั้นอาจแยกออกเป็นหลายจำนวนเฉพาะ คงสภาพเป็นจำนวนเฉพาะ หรือเกิดการแตกกิ่ง ทฤษฎีกาลัวส์จัดระเบียบพฤติกรรมทั้งหมดนี้ผ่านกลุ่มการสลายตัวและสมาชิกโฟรเบนิอุส

Definition

การแตกกิ่งอธิบายว่าอุดมคติเฉพาะของฟีลด์ฐานแยกตัวประกอบในส่วนขยายอย่างไร และมีตัวประกอบเฉพาะซ้ำปรากฏขึ้นหรือไม่ ทฤษฎีกาลัวส์ของฟีลด์จำนวนเข้ารหัสสิ่งนี้ผ่านสับกรุปของกลุ่มกาลัวส์ที่เชื่อมโยงกับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวที่อยู่เหนือมัน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะตรรกยะในส่วนขยายออกเป็นอุดมคติเฉพาะพร้อมด้วยดัชนีการแตกกิ่งและดีกรีส่วนเหลือของมัน เอกลักษณ์พื้นฐานที่เชื่อมโยงสิ่งเหล่านี้กับดีกรี จำนวนเฉพาะที่แตกกิ่งและไม่แตกกิ่ง กลุ่มการสลายตัวและกลุ่มความเฉื่อยในการขยายกาลัวส์ ออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุส ดิฟเฟอเรนต์และความสัมพันธ์ระหว่างดิสคริมิแนนต์กับการแตกกิ่ง และสัญลักษณ์อาร์ตินที่คาดการณ์กฎการแลกเปลี่ยน

Core questions

• จำนวนเฉพาะตรรกยะแยกตัวประกอบในริงของจำนวนเต็มของส่วนขยายอย่างไร และดัชนีการแตกกิ่งและดีกรีส่วนเหลือคืออะไร?
• เหตุใดค่าคงที่เหล่านี้จึงเป็นไปตามเอกลักษณ์พื้นฐานที่รวมกันแล้วเท่ากับดีกรี และมันง่ายขึ้นอย่างไรสำหรับการขยายกาลัวส์?
• กลุ่มการสลายตัวและกลุ่มความเฉื่อยคืออะไร และสมาชิกโฟรเบนิอุสกระทำต่อฟีลด์ส่วนเหลืออย่างไร?
• จำนวนเฉพาะใดบ้างที่แตกกิ่ง และดิฟเฟอเรนต์และดิสคริมิแนนต์ตรวจจับพวกมันได้อย่างไร?

Key theories

เอกลักษณ์พื้นฐานและประเภทการแยกตัว

ตัวประกอบเฉพาะในส่วนขยายที่มีดัชนีการแตกกิ่งและดีกรีส่วนเหลือซึ่งผลรวมถ่วงน้ำหนักเท่ากับดีกรีฟีลด์ ในการขยายกาลัวส์ ตัวประกอบทั้งหมดมีดัชนีและดีกรีเดียวกัน ซึ่งจำแนกพฤติกรรมการแยกตัว เฉื่อย และแตกกิ่ง

กลุ่มการสลายตัว กลุ่มความเฉื่อย และโฟรเบนิอุส

สำหรับจำนวนเฉพาะที่อยู่เหนือจำนวนเฉพาะที่กำหนดในการขยายกาลัวส์ กลุ่มการสลายตัวคือตัวรักษาเสถียรภาพของมัน กลุ่มความเฉื่อยคือส่วนการแตกกิ่งของมัน และผลหารถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกโฟรเบนิอุสที่ทำหน้าที่เป็นแผนที่ยกกำลังบนฟีลด์ส่วนเหลือ

ดิฟเฟอเรนต์ ดิสคริมิแนนต์ และการแตกกิ่ง

อุดมคติดิฟเฟอเรนต์และดิสคริมิแนนต์ระบุจำนวนเฉพาะที่แตกกิ่ง โดยสูตรตัวนำ-ดิสคริมิแนนต์แสดงดิสคริมิแนนต์ของการขยายอาเบลผ่านตัวนำของลักษณะเฉพาะของมัน

Clinical relevance

พฤติกรรมการแยกตัวของจำนวนเฉพาะผ่านสมาชิกโฟรเบนิอุสควบคุมกฎการแลกเปลี่ยนและเป็นหัวใจสำคัญของการคำนวณในอัลกอริทึมที่แยกตัวประกอบพหุนามและอุดมคติเหนือฟีลด์จำนวน รวมถึงขั้นตอนภายในตะแกรงฟีลด์จำนวน

History

เดเดคินด์เชื่อมโยงการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะกับการแยกตัวประกอบของพหุนามน้อยที่สุดมอดุโลจำนวนเฉพาะนั้น ฮิลเบิร์ตจัดระบบทฤษฎีการแตกกิ่งในงาน Zahlbericht ของเขาในปี 1897 โดยแนะนำกลุ่มการสลายตัวและกลุ่มความเฉื่อย และการกรองการแตกกิ่งที่สูงขึ้นซึ่งจัดระเบียบหัวข้อสมัยใหม่

Key figures

• Richard Dedekind
• David Hilbert
• Ferdinand Georg Frobenius

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

การที่จำนวนเฉพาะแตกกิ่งหมายความว่าอย่างไร?

จำนวนเฉพาะจะแตกกิ่งในส่วนขยายเมื่อการแยกตัวประกอบของมันออกเป็นอุดมคติเฉพาะนั้นมีตัวประกอบซ้ำ มีจำนวนเฉพาะที่แตกกิ่งเพียงจำกัดจำนวนเท่านั้น และจำนวนเฉพาะเหล่านั้นคือจำนวนเฉพาะที่หารดิสคริมิแนนต์ลงตัว

สมาชิกโฟรเบนิอุสคืออะไร?

สำหรับจำนวนเฉพาะที่ไม่แตกกิ่งในการขยายกาลัวส์ มันคือออโตมอร์ฟิซึมตามแบบแผนที่เหนี่ยวนำแผนที่ยกกำลัง p บนฟีลด์ส่วนเหลือ ชั้นสังยุคของมันบันทึกว่าจำนวนเฉพาะแยกตัวอย่างไรและเป็นกุญแจสำคัญของกฎการแลกเปลี่ยน