ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต

ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตขยายเลขคณิตของจำนวนเต็มไปสู่ริงของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตภายในส่วนขยายจำกัดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งการแยกตัวประกอบเฉพาะอาจไม่เป็นจริง แต่จะได้รับการฟื้นฟูในระดับของอุดมคติ

Definition

ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือการศึกษาฟิลด์จำนวน (ส่วนขยายจำกัดของจำนวนตรรกยะ) และริงของจำนวนเต็มของฟิลด์เหล่านั้น โดยใช้เครื่องมือของพีชคณิตสลับที่และทฤษฎี Galois เพื่อทำความเข้าใจการแยกตัวประกอบ หน่วย และส่วนขยายฟิลด์ในเชิงเลขคณิต

Scope

สาขานี้ครอบคลุมฟิลด์จำนวนและริงของจำนวนเต็มของฟิลด์เหล่านั้น การแยกตัวประกอบของอุดมคติออกเป็นอุดมคติเฉพาะ กลุ่มชั้นอุดมคติที่ใช้วัดความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichlet การแตกกิ่งและพฤติกรรมของจำนวนเฉพาะในการขยาย ทฤษฎี Galois ของฟิลด์จำนวน และทฤษฎีฟิลด์ชั้นที่อธิบายส่วนขยายอาเบลีนในแง่ของข้อมูลเลขคณิต

Sub-topics

• Class Field Theory
• Ideal Class Groups and Units
• Number Fields and Rings of Integers
• Ramification and Galois Theory of Number Fields

Core questions

• อะไรมาแทนที่การแยกตัวประกอบเฉพาะในริงของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต และอุดมคติเฉพาะฟื้นฟูสิ่งนี้ได้อย่างไร?
• ความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบเฉพาะมีขนาดใหญ่เพียงใด ซึ่งวัดโดยกลุ่มชั้นอุดมคติ และมันจำกัดเสมอหรือไม่?
• หน่วยของริงของจำนวนเต็มมีพฤติกรรมอย่างไร และอันดับของมันคืออะไร?
• จำนวนเฉพาะตรรกยะแยกตัว แตกกิ่ง หรือคงสภาพเดิมในส่วนขยายได้อย่างไร และทฤษฎี Galois ควบคุมสิ่งนี้อย่างไร?

Key theories

การแยกตัวประกอบเฉพาะของอุดมคติ

ในโดเมน Dedekind เช่น ริงของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน ทุกอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์จะแยกตัวประกอบเฉพาะออกเป็นอุดมคติเฉพาะได้อย่างไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นการฟื้นฟูบทบาทเชิงโครงสร้างของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ความจำกัดของเลขชั้นและทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichlet

กลุ่มชั้นอุดมคติมีจำกัดและกลุ่มหน่วยถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยมีอันดับที่กำหนดโดยจำนวนของการฝังตัวจริงและเชิงซ้อน ซึ่งเป็นรากฐานสองประการที่ก่อตั้งขึ้นโดยเรขาคณิตของจำนวนแบบ Minkowski

ทฤษฎีฟิลด์ชั้น

ส่วนขยายอาเบลีนของฟิลด์จำนวนถูกจัดประเภทโดยผลหารของกลุ่มชั้นอุดมคติทั่วไป ซึ่งเป็นการขยายการแลกเปลี่ยนกำลังสองไปสู่กฎการแลกเปลี่ยนของแผนที่ Artin

Clinical relevance

ริงของจำนวนเต็มและเลขคณิตอุดมคติเป็นรากฐานทางพีชคณิตของการเข้ารหัสสมัยใหม่ รวมถึงโครงข่ายแบบแลตทิซและโครงข่ายแลตทิซอุดมคติที่พิจารณาสำหรับความปลอดภัยหลังยุคควอนตัม และเป็นพื้นฐานของตะแกรงฟิลด์จำนวน ซึ่งเป็นอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบทั่วไปที่เร็วที่สุดเท่าที่ทราบ

History

สาขานี้เติบโตจากการแนะนำจำนวนอุดมคติของ Kummer ประมาณปี 1847 เพื่อแก้ไขการแยกตัวประกอบเฉพาะในฟิลด์ไซโคลโทมิก ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ Dedekind ได้ปรับเปลี่ยนสิ่งเหล่านี้เป็นอุดมคติในช่วงทศวรรษ 1870 Minkowski ได้เพิ่มวิธีการทางเรขาคณิต และ Hilbert, Takagi และ Artin ได้สร้างทฤษฎีฟิลด์ชั้นในช่วงต้นศตวรรษที่ยี่สิบ

Key figures

• Ernst Kummer
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Emil Artin

Seminal works

• neukirch1999

Frequently asked questions

เหตุใดการแยกตัวประกอบเฉพาะจึงไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต?

ในริงของจำนวนเต็มหลายแห่ง องค์ประกอบสามารถแยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ในลักษณะที่แตกต่างกันอย่างแท้จริง วิธีแก้ไขคือการแยกตัวประกอบอุดมคติแทนที่จะเป็นองค์ประกอบ ซึ่งความไม่ซ้ำกันจะได้รับการฟื้นฟูเสมอ

เลขชั้นคืออะไร?

มันคืออันดับของกลุ่มชั้นอุดมคติ ซึ่งเป็นจำนวนจำกัดที่วัดว่าริงของจำนวนเต็มอยู่ห่างจากการมีการแยกตัวประกอบเฉพาะมากน้อยเพียงใด มันเท่ากับหนึ่งเมื่อการแยกตัวประกอบเฉพาะไม่ซ้ำกัน