การแปลงลาปลาซ

การแปลงลาปลาซจะแปลงฟังก์ชันของเวลาให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน โดยเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นให้เป็นสมการพีชคณิต

Definition

การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันคือปริพันธ์ของฟังก์ชันที่คูณด้วยฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ลดลงตามแกนเวลาบวก ซึ่งสร้างฟังก์ชันของตัวแปรความถี่เชิงซ้อน การหาอนุพันธ์ตามเวลาจะกลายเป็นการคูณด้วยตัวแปรนั้น โดยรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไว้โดยตรง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงคำจำกัดความและขอบเขตการลู่เข้า การแปลงฟังก์ชันพื้นฐาน กฎสำหรับการหาอนุพันธ์ ปริพันธ์ การเลื่อน และการปรับขนาด ทฤษฎีบทการสังวัตนาการ การจัดการปัญหาค่าเริ่มต้น การแปลงผกผันโดยใช้เศษส่วนย่อยและปริพันธ์ Bromwich และการประยุกต์ใช้กับระบบเชิงเส้นและฟังก์ชันถ่ายโอน

Core questions

• การแปลงนี้รวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้ากับปัญหาพีชคณิตได้อย่างไร?
• ขอบเขตการลู่เข้าคืออะไร และเหตุใดจึงมีความสำคัญ?
• จะคำนวณการแปลงผกผันเพื่อกู้คืนผลเฉลยในโดเมนเวลาได้อย่างไร?
• ฟังก์ชันถ่ายโอนอธิบายระบบเชิงเส้นในโดเมนการแปลงได้อย่างไร?

Key theories

กฎการหาอนุพันธ์และปัญหาค่าเริ่มต้น

การแปลงของอนุพันธ์เท่ากับตัวแปรความถี่คูณด้วยการแปลงลบด้วยค่าเริ่มต้น ดังนั้นปัญหาค่าเริ่มต้นเชิงเส้นจึงกลายเป็นสมการพีชคณิตที่เข้ารหัสข้อมูลเริ่มต้นโดยอัตโนมัติ

ทฤษฎีบทการสังวัตนาการ

การแปลงของการสังวัตนาการคือผลคูณของการแปลง ซึ่งแสดงการตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลาว่าเป็นผลคูณของฟังก์ชันถ่ายโอนและอินพุตที่ถูกแปลง

การแปลงผกผัน

การแปลงผกผันจะถูกกู้คืนโดยการแยกเศษส่วนย่อยสำหรับการแปลงแบบตรรกยะ หรือโดยทั่วไปโดยปริพันธ์เส้นชั้น Bromwich ซึ่งจะคืนผลเฉลยสู่โดเมนเวลา

Clinical relevance

การแปลงลาปลาซเป็นวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น และเป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีการควบคุมและวิศวกรรมไฟฟ้า ซึ่งมีการวิเคราะห์ฟังก์ชันถ่ายโอนและความเสถียรในโดเมนการแปลง

History

การแปลงนี้มีต้นกำเนิดจากผลงานของลาปลาซเกี่ยวกับฟังก์ชันก่อกำเนิดในทฤษฎีความน่าจะเป็นในช่วงปลายศตวรรษที่สิบแปด แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการของ Heaviside ในทศวรรษ 1890 ได้นำแนวคิดการแปลงมาประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์วงจร และ Bromwich และคนอื่นๆ ได้ให้ทฤษฎีการแปลงผกผันที่เข้มงวดในภายหลัง ซึ่งเป็นเครื่องยืนยันวิธีการของ Heaviside

Key figures

• Pierre-Simon Laplace
• Oliver Heaviside
• Thomas Bromwich
• Joseph-Louis Lagrange

Seminal works

• folland1992
• schiff1999

Frequently asked questions

เหตุใดจึงใช้การแปลงลาปลาซแทนการแปลงฟูเรียร์?

การแปลงลาปลาซมีปัจจัยการลดทอนจริงรวมอยู่ด้วย จึงลู่เข้าสำหรับสัญญาณที่เพิ่มขึ้นหรือมีสัญญาณชั่วคราวเริ่มต้น และสร้างเงื่อนไขเริ่มต้นขึ้นมาโดยธรรมชาติ ทำให้เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้สำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นและการวิเคราะห์สัญญาณชั่วคราวในทางวิศวกรรม

ฟังก์ชันถ่ายโอนคืออะไร?

คือการแปลงลาปลาซของการตอบสนองอิมพัลส์ของระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลา หรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของเอาต์พุตที่ถูกแปลงต่ออินพุตที่ถูกแปลง ตำแหน่งของโพล (poles) จะเป็นตัวกำหนดความเสถียรและพฤติกรรมพลวัตของระบบ