การแปลงฟูเรียร์ (ประยุกต์)
ในฐานะที่เป็นการแปลงเชิงปริพันธ์ การแปลงฟูเรียร์จะแยกฟังก์ชันออกเป็นความถี่องค์ประกอบ และแปลงการดำเนินการทางแคลคูลัสให้เป็นการดำเนินการทางพีชคณิต ทำให้เป็นวิธีการทำงานหลักของคณิตศาสตร์ประยุกต์
Definition
การแปลงฟูเรียร์จะส่งฟังก์ชันไปยังฟังก์ชันในโดเมนความถี่ที่กำหนดโดยการอินทิเกรตกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ในการใช้งานจริงจะเปลี่ยนการสังวัตนาการเป็นการคูณ และการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วยความถี่ ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขในโดเมนการแปลงแล้วจึงทำการแปลงผกผัน
Scope
หัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแปลงฟูเรียร์ในฐานะวิธีการแปลง: คำจำกัดความและการแปลงผกผัน กฎการดำเนินการสำหรับการเลื่อน การปรับขนาด และการหาอนุพันธ์ ทฤษฎีบทการสังวัตนาการและทฤษฎีบทของ Parseval-Plancherel การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องและแบบเร็ว และการนำไปใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์สัญญาณและระบบ ซึ่งเสริมการอธิบายการแปลงเดียวกันนี้ในเชิงการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
Core questions
- การแปลงนี้ลดปัญหาเชิงอนุพันธ์หรือปัญหาการสังวัตนาการให้เป็นพีชคณิตได้อย่างไร?
- กฎการดำเนินการใดที่ควบคุมการเลื่อน การปรับขนาด และอนุพันธ์?
- การแปลงนี้คำนวณจากข้อมูลตัวอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพได้อย่างไร?
- เนื้อหาความถี่ถูกอ่านและจัดการในการประยุกต์ใช้ได้อย่างไร?
Key theories
- กฎการดำเนินการและคุณสมบัติการหาอนุพันธ์
- การหาอนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วยความถี่ และการเลื่อนกลายเป็นตัวประกอบเฟส ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและตัวกรองจึงกลายเป็นความสัมพันธ์ทางพีชคณิตในโดเมนความถี่
- ทฤษฎีบทการสังวัตนาการ
- การแปลงของการสังวัตนาการคือผลคูณของการแปลง ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้น การกรอง และวิธีการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชันของกรีน
- การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องและแบบเร็ว
- การสุ่มตัวอย่างนำไปสู่การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งอัลกอริทึมการแปลงฟูเรียร์แบบเร็วคำนวณได้ด้วยการดำเนินการในลำดับ n log n ทำให้สามารถวิเคราะห์ความถี่แบบดิจิทัลได้อย่างเป็นรูปธรรม
Clinical relevance
วิธีการฟูเรียร์ประยุกต์เป็นแรงขับเคลื่อนในการประมวลผลสัญญาณและภาพ โทรคมนาคม การวิเคราะห์เสียงและคำพูด ทัศนศาสตร์และผลึกศาสตร์ สเปกโทรสโกปี และวิธีการเชิงสเปกตรัมสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ทำให้การแปลงนี้เป็นหนึ่งในเครื่องมือที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม
History
ฟูเรียร์ได้นำเสนอการแยกองค์ประกอบความถี่ในทฤษฎีความร้อนของเขาในปี ค.ศ. 1822 การแปลงนี้ได้กลายเป็นเครื่องมือทางวิศวกรรมที่ใช้งานได้จริงผ่านแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ และที่สำคัญคือผ่านการแปลงฟูเรียร์แบบเร็วของ Cooley-Tukey ในปี ค.ศ. 1965 ซึ่งทำให้การวิเคราะห์สเปกตรัมแบบดิจิทัลแพร่หลายไปทั่ว
Key figures
- Joseph Fourier
- Ronald Bracewell
- James Cooley
- John Tukey
Related topics
Seminal works
- folland1992
- bracewell2000
Frequently asked questions
- สิ่งนี้แตกต่างจากการแปลงฟูเรียร์ภายใต้การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกอย่างไร?
- มันคือวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกันที่มองต่างมุม: การอธิบายในเชิงการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกจะเน้นทฤษฎีพื้นฐานและปริภูมิฟังก์ชัน ในขณะที่หัวข้อคณิตศาสตร์ประยุกต์นี้จะเน้นการแปลงในฐานะวิธีการแก้สมการและวิเคราะห์สัญญาณ รวมถึงรูปแบบไม่ต่อเนื่องและแบบเร็ว
- เหตุใดทฤษฎีบทการสังวัตนาการจึงมีประโยชน์มากในการประยุกต์ใช้?
- ระบบทางฟิสิกส์หลายระบบทำงานกับอินพุตโดยการสังวัตนาการ ซึ่งยากที่จะคำนวณโดยตรง ในโดเมนความถี่ การสังวัตนาการจะกลายเป็นการคูณอย่างง่าย ดังนั้นการกรองและการตอบสนองของระบบจึงคำนวณได้โดยการแปลง การคูณ และการแปลงกลับ ซึ่งมักใช้การแปลงฟูเรียร์แบบเร็ว