โฮโมโลยี

โฮโมโลยีวัดจำนวนช่องว่างของปริภูมิในแต่ละมิติ โดยการนับวัฏจักรที่ไม่ใช่ขอบเขต ซึ่งจะสร้างลำดับของกลุ่มอาเบล (abelian groups) ที่สามารถคำนวณได้และมีความคงทนภายใต้การแปลงแบบต่อเนื่อง

Definition

โฮโมโลยีจะกำหนดลำดับของกลุ่มอาเบลให้กับปริภูมิ ซึ่งนิยามว่าเป็นผลหารของวัฏจักร (ลูกโซ่ที่มีขอบเขตเป็นศูนย์) โดยขอบเขต (ภาพของการส่งผ่านขอบเขต) ในเชิงซ้อนลูกโซ่ อันดับของมันคือจำนวนเบตติ ซึ่งนับจำนวนช่องว่างอิสระในแต่ละมิติ

Scope

หัวข้อนี้พัฒนาเชิงซ้อนลูกโซ่ (chain complexes) และแนวคิดทางพีชคณิตของโฮโมโลยีในฐานะวัฏจักรโมดูโลขอบเขต (cycles modulo boundaries) ซึ่งถูกทำให้เป็นรูปธรรมผ่านโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล (simplicial homology) โฮโมโลยีเชิงเอกฐาน (singular homology) และโฮโมโลยีเชิงเซลลูลาร์ (cellular homology) และแสดงให้เห็นว่าสอดคล้องกันในปริภูมิที่เหมาะสม ครอบคลุมคุณสมบัติพื้นฐาน ได้แก่ ความไม่แปรเปลี่ยนแบบโฮโมโทปี (homotopy invariance) ลำดับแม่นตรงยาวของคู่ (long exact sequence of a pair) การตัดออก (excision) และลำดับเมเยอร์-วีตอริส (Mayer-Vietoris sequence) ซึ่งทำให้โฮโมโลยีสามารถคำนวณได้ พร้อมด้วยทฤษฎีดีกรี (degree theory) จำนวนเบตติ (Betti numbers) และลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ (Euler characteristic) รวมถึงความสมมูลของการสร้างแบบต่างๆ และการคำนวณสำหรับทรงกลม พื้นผิว และ CW คอมเพล็กซ์

Core questions

• วัฏจักรโมดูโลขอบเขตทำให้แนวคิดเชิงสัญชาตญาณของช่องว่าง n มิติเป็นทางการได้อย่างไร
• เหตุใดโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล โฮโมโลยีเชิงเอกฐาน และโฮโมโลยีเชิงเซลลูลาร์จึงสอดคล้องกัน และวิธีใดดีที่สุดสำหรับการคำนวณ
• การตัดออกและลำดับเมเยอร์-วีตอริสลดโฮโมโลยีของปริภูมิให้เป็นส่วนที่ง่ายกว่าได้อย่างไร
• จำนวนเบตติและลักษณะเฉพาะของออยเลอร์จับข้อมูลทางทอพอโลยีอะไรบ้าง

Key concepts

• เชิงซ้อนลูกโซ่ วัฏจักร และขอบเขต
• โฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล เชิงเอกฐาน และเชิงเซลลูลาร์ และความสอดคล้องกัน
• ลำดับแม่นตรงยาวของคู่และการตัดออก
• ลำดับเมเยอร์-วีตอริส
• จำนวนเบตติ ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ และดีกรีของการส่ง

Clinical relevance

โฮโมโลยีเป็นตัวไม่แปรหลักของการจัดเรียงภูมิประเทศ (topology) ซึ่งขับเคลื่อนทฤษฎีจุดตรึงและทฤษฎีการตัดกัน การจำแนกแมนิโฟลด์ ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ในเรขาคณิตและคณิตศาสตร์เชิงการจัด และการประยุกต์ใช้สมัยใหม่ เช่น โฮโมโลยีแบบคงทน (persistent homology) ในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงทอพอโลยี

History

จำนวนเบตติและสัมประสิทธิ์การบิดของปวงกาเรได้รับการตีความใหม่ว่าเป็นกลุ่มผลหาร หลังจากเอ็มมี เนอเทอร์เน้นย้ำโครงสร้างกลุ่มในช่วงทศวรรษ 1920 การกำหนดสูตรเชิงเอกฐานและเชิงสัจพจน์ (Eilenberg-Steenrod) ในทศวรรษ 1940 และ 1950 ทำให้โฮโมโลยีมีรูปแบบเชิงฟังก์ชันและเชิงสัจพจน์ที่ใช้ในปัจจุบัน

Key figures

• Henri Poincaré
• Emmy Noether
• Leopold Vietoris

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

วัฏจักรกับขอบเขตแตกต่างกันอย่างไร

วัฏจักรคือลูกโซ่ที่มีขอบเขตเป็นศูนย์ (วงปิดหรือพื้นผิว) ส่วนขอบเขตคือลูกโซ่ที่เป็นขอบเขตของลูกโซ่ที่มีมิติสูงกว่า โฮโมโลยีวัดวัฏจักรที่ไม่ใช่ขอบเขต ซึ่งเป็นช่องว่างที่แท้จริง

เหตุใดโฮโมโลยีจึงคำนวณได้ง่ายกว่าโฮโมโทปี

โฮโมโลยีเป็นไปตามหลักการตัดออกและเข้ากันได้กับลำดับแม่นตรงยาว ดังนั้นโฮโมโลยีของปริภูมิสามารถประกอบขึ้นจากส่วนที่ง่ายกว่าได้ ในขณะที่กลุ่มโฮโมโทปีไม่เป็นไปตามหลักการตัดดังกล่าวและต้านทานการคำนวณอย่างเป็นระบบ