โคฮอโมโลยี

โคฮอโมโลยีเป็นแนวคิดคู่กันของโฮโมโลยี โดยกำหนดโคเชนให้กับปริภูมิ และที่สำคัญคือมีโครงสร้างริง — ผลคูณแบบคัพ — ที่สามารถจำแนกปริภูมิที่โฮโมโลยีเพียงอย่างเดียวไม่สามารถทำได้

Definition

โคฮอโมโลยีกำหนดลำดับของกลุ่มอาเบล (abelian groups) ให้กับปริภูมิ ซึ่งได้มาจากวัฏจักรโมดูโลขอบเขตในโคเชนคอมเพล็กซ์คู่ของซิงกูลาร์เชนคอมเพล็กซ์ (singular chain complex); ด้วยผลคูณแบบคัพ มันก่อให้เกิดริงแบบสลับที่ได้แบบมีลำดับขั้น (graded-commutative ring) ซึ่งเป็นตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนรูปที่ละเอียดกว่าโฮโมโลยี

Scope

หัวข้อนี้พัฒนาโคฮอโมโลยีในฐานะโฮโมโลยีของโคเชนคอมเพล็กซ์คู่ ซึ่งเกี่ยวข้องกับโฮโมโลยีโดยทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากล และเพิ่มโครงสร้างการคูณที่กำหนดโดยผลคูณแบบคัพที่ทำให้โคฮอโมโลยีทั้งหมดเป็นริงแบบมีลำดับขั้น นอกจากนี้ยังครอบคลุมโคฮอโมโลยีแบบเดอรามบนแมนิโฟลด์เรียบและการระบุเอกลักษณ์กับโคฮอโมโลยีเอกฐานผ่านทฤษฎีบทของเดอราม ผลคูณแบบคัพและแคป และทฤษฎีบททวิภาคของปวงกาเรที่เชื่อมโยงโคฮอโมโลยีของแมนิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทางเข้ากับโฮโมโลยีของมัน ทฤษฎีบทของคุนเนธและการประยุกต์ใช้คลาสลักษณะเฉพาะก็รวมอยู่ด้วย

Core questions

• โคฮอโมโลยีมีความสัมพันธ์กับโฮโมโลยีอย่างไรผ่านทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากล?
• ข้อมูลเพิ่มเติมใดบ้างที่โครงสร้างริงผลคูณแบบคัพเข้ารหัสไว้ นอกเหนือจากกลุ่มพื้นฐาน?
• ทฤษฎีบททวิภาคของปวงกาเรเชื่อมโยงโคฮอโมโลยีและโฮโมโลยีของแมนิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทางอย่างไร?
• เหตุใดทฤษฎีบทของเดอรามจึงระบุโคฮอโมโลยีรูปแบบเชิงอนุพันธ์แบบเรียบกับโคฮอโมโลยีเชิงโทโพโลยี?

Key concepts

• โคเชนคอมเพล็กซ์และทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากล
• ผลคูณแบบคัพและริงโคฮอโมโลยี
• ผลคูณแบบแคปและทฤษฎีบททวิภาคของปวงกาเร
• โคฮอโมโลยีแบบเดอรามและทฤษฎีบทของเดอราม
• ทฤษฎีบทของคุนเนธสำหรับผลคูณ

Clinical relevance

ริงโคฮอโมโลยีเป็นแหล่งธรรมชาติของคลาสลักษณะเฉพาะ (characteristic classes), ทฤษฎีสิ่งกีดขวาง (obstruction theory) และผลคูณจุดตัด (intersection products) ทำให้โคฮอโมโลยีเป็นแกนหลักในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์, โทโพโลยีของไฟเบอร์บันเดิล (fiber bundles) และทฤษฎีเกจ (gauge theory) ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์

History

โคฮอโมโลยีปรากฏขึ้นในทศวรรษ 1930 จากผลงานของเดอราม, เชค, อเล็กซานเดอร์ และโคลโมโกรอฟ; ผลคูณแบบคัพที่นำเสนอโดยวิทนีย์และคนอื่นๆ ได้เปิดเผยโครงสร้างการคูณที่มองไม่เห็นในโฮโมโลยี และทฤษฎีบทของเดอรามได้เชื่อมโยงทฤษฎีแบบเรียบและแบบโทโพโลยีเข้าด้วยกัน ทำให้โคฮอโมโลยีมีบทบาทสำคัญ

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

เหตุใดจึงใช้โคฮอโมโลยี หากโฮโมโลยีสามารถตรวจจับช่องว่างได้อยู่แล้ว?

โคฮอโมโลยีมีโครงสร้างริงผ่านผลคูณแบบคัพที่โฮโมโลยีไม่มี; ปริภูมิที่มีกลุ่มโฮโมโลยีเหมือนกันอาจมีริงโคฮอโมโลยีที่แตกต่างกัน ดังนั้นโคฮอโมโลยีจึงเป็นตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนรูปที่ละเอียดกว่าอย่างชัดเจน

ทฤษฎีบททวิภาคของปวงกาเรกล่าวว่าอย่างไร?

สำหรับ n-แมนิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทาง โคฮอโมโลยีลำดับที่ k จะสมสัณฐานกับโฮโมโลยีลำดับที่ (n-k); ในทางเรขาคณิต มันจับคู่วัฏจักรกับวัฏจักรที่มีมิติเสริมกันผ่านจุดตัด