ความผันผวนและการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากัน

ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากัน (equipartition theorem) กำหนดส่วนแบ่งพลังงานความร้อนที่แน่นอนให้กับแต่ละระดับความเป็นอิสระเชิงกำลังสอง (quadratic degree of freedom) ในขณะที่ความผันผวนทางสถิติ (statistical fluctuations) วัดว่าคุณสมบัติของระบบเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด

Definition

ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันระบุว่า ในขีดจำกัดแบบคลาสสิก แต่ละระดับความเป็นอิสระเชิงกำลังสองมีพลังงานเฉลี่ยหนึ่งในสองของพลังงานความร้อน และความผันผวนคือการเบี่ยงเบนทางสถิติของคุณสมบัติของระบบจากค่าเฉลี่ย

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องสองประการจากมุมมองทางสถิติของสสาร: ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากัน ซึ่งให้พลังงานเฉลี่ยหนึ่งในสองของพลังงานความร้อนแก่แต่ละระดับความเป็นอิสระเชิงกำลังสอง และทำนายความจุความร้อนแบบคลาสสิกของก๊าซและของแข็ง รวมถึงการล้มเหลวของทฤษฎีนี้เมื่อระยะห่างเชิงควอนตัมเกินพลังงานความร้อน นอกจากนี้ยังครอบคลุมถึงความผันผวนทางความร้อน (thermal fluctuations) ซึ่งเป็นการเบี่ยงเบนที่เกิดขึ้นเองของพลังงาน ความหนาแน่น และคุณสมบัติอื่น ๆ จากค่าเฉลี่ย การพึ่งพาขนาดของระบบ และความเชื่อมโยงกับฟังก์ชันการตอบสนอง เช่น ความจุความร้อน ฟังก์ชันการแบ่งส่วน (partition function) และการกระจายตัวของโบลต์ซมันน์ (Boltzmann distribution) ซึ่งเป็นพื้นฐานของทั้งสองหัวข้อนี้จะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

Core questions

• ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันทำนายความจุความร้อนของก๊าซและของแข็งได้อย่างไร?
• เหตุใดการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันจึงล้มเหลวที่อุณหภูมิต่ำ และการหาปริมาณอธิบายสิ่งนี้ได้อย่างไร?
• ความผันผวนทางความร้อนมีขนาดใหญ่เพียงใด และขึ้นอยู่กับขนาดของระบบอย่างไร?
• ความผันผวนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการตอบสนองทางอุณหพลศาสตร์ เช่น ความจุความร้อนได้อย่างไร?

Key concepts

• ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากัน
• ระดับความเป็นอิสระเชิงกำลังสอง
• ความจุความร้อนของก๊าซและของแข็ง
• ความผันผวนทางความร้อน
• ความสัมพันธ์ระหว่างความผันผวนและการตอบสนอง

Key theories

ทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากัน

ในระบอบคลาสสิก แต่ละระดับความเป็นอิสระของการเคลื่อนที่เชิงเส้น การหมุน และการสั่นสะเทือนที่เข้าสู่พลังงานในรูปกำลังสองจะได้รับส่วนแบ่งพลังงานความร้อนเฉลี่ยเท่ากัน ทำให้เกิดการทำนายที่เรียบง่ายสำหรับความจุความร้อนโมลาร์ เช่น ค่า Dulong-Petit สำหรับของแข็ง

ความผันผวนและฟังก์ชันการตอบสนอง

ขนาดของความผันผวนที่เกิดขึ้นเองในพลังงานหรือจำนวนอนุภาคเชื่อมโยงกับฟังก์ชันการตอบสนองทางอุณหพลศาสตร์ ดังนั้นความผันผวนของพลังงานจึงเป็นสัดส่วนกับความจุความร้อน ความผันผวนจะลดลงเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยเมื่อจำนวนอนุภาคเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณสมบัติมหภาคจึงดูคมชัด

Clinical relevance

การแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันให้ค่าความจุความร้อนแบบคลาสสิกที่ใช้ในเทอร์โมเคมีและวิศวกรรม และกำหนดขอบเขตที่ต้องรวมผลกระทบเชิงควอนตัม ในขณะที่ทฤษฎีความผันผวนเป็นพื้นฐานของการกระเจิงของแสง การเคลื่อนที่แบบบราวน์ การรบกวนในการวัด และความสัมพันธ์ระหว่างความผันผวนและการสลายตัว (fluctuation-dissipation relations) ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของสสารอ่อนและชีวฟิสิกส์

History

หลักการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันเกิดขึ้นจากทฤษฎีจลน์ของแมกซ์เวลล์และโบลต์ซมันน์ในศตวรรษที่สิบเก้า และความล้มเหลวของหลักการนี้สำหรับความจุความร้อนเป็นเบาะแสแรกของทฤษฎีควอนตัม การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบบราวน์และความผันผวนของความหนาแน่นของไอน์สไตน์และสโมลูโชฟสกีประมาณปี 1905 ได้สร้างทฤษฎีเชิงปริมาณของความผันผวนทางความร้อนขึ้น

Key figures

• James Clerk Maxwell
• Ludwig Boltzmann
• Albert Einstein

Seminal works

• mcquarrie1997
• hill1986

Frequently asked questions

เหตุใดทฤษฎีการแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันจึงล้มเหลวที่อุณหภูมิต่ำ?

การแบ่งส่วนพลังงานเท่ากันสมมติว่าระดับพลังงานอยู่ใกล้กันมากจนมีพฤติกรรมต่อเนื่อง เมื่อพลังงานความร้อนลดลงต่ำกว่าระยะห่างของระดับควอนตัม ระดับความเป็นอิสระเหล่านั้นจะหยุดทำงานและไม่ส่งผลกระทบ ดังนั้นความจุความร้อนที่วัดได้จึงต่ำกว่าการทำนายแบบคลาสสิก

เหตุใดเราจึงไม่สังเกตเห็นความผันผวนทางความร้อนในวัตถุในชีวิตประจำวัน?

ขนาดสัมพัทธ์ของความผันผวนจะลดลงตามรากที่สองผกผันของจำนวนอนุภาค ดังนั้นในตัวอย่างมหภาคที่มีโมเลกุลจำนวนมหาศาล การเบี่ยงเบนจึงน้อยมากจนไม่สามารถละเลยได้ ความผันผวนจะมีความสำคัญเฉพาะในระบบที่มีขนาดเล็กมากเท่านั้น