ตัวแก้สมการสนามแบบไฟไนต์เอลิเมนต์และกริด

การแก้สมการสนามแบบคลาสสิกบนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนหมายถึงการแบ่งพื้นที่ออกเป็นองค์ประกอบ (elements) หรือเซลล์กริด (grid cells) และการแก้สมการแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นวิธีการที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณทางแม่เหล็กไฟฟ้า กลศาสตร์โครงสร้าง และฟิสิกส์ต่อเนื่อง

Definition

ตัวแก้สมการสนามแบบไฟไนต์เอลิเมนต์และกริดเป็นวิธีการเชิงตัวเลขที่ประมาณผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยของสนาม โดยการแทนสนามด้วยฟังก์ชันฐานเฉพาะที่ (local basis functions) บนเมชขององค์ประกอบหรือเซลล์กริด ทำให้เกิดระบบพีชคณิตขนาดใหญ่ที่ต้องแก้ไข

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการแก้ปัญหาภาคสนามแบบต่อเนื่องคลาสสิกโดยใช้กริด: วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (finite-element method) พร้อมด้วยการกำหนดรูปแบบอ่อน (weak formulation) และฟังก์ชันฐาน (basis functions) บนเมชแบบไม่มีโครงสร้าง (unstructured meshes) ทางเลือกอื่นอย่างไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ (finite-difference) และไฟไนต์วอลุ่ม (finite-volume) รวมถึงการประกอบและการแก้ระบบสมการเชิงเส้นขนาดใหญ่แบบสปาร์ส (sparse linear systems) ที่เกิดขึ้น โดยจะกล่าวถึงปัญหาภาคสนามแบบสถิตและแบบขึ้นกับเวลาบนรูปทรงเรขาคณิตทั่วไป

Core questions

• วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เปลี่ยนสมการสนามให้เป็นระบบพีชคณิตได้อย่างไรผ่านการกำหนดรูปแบบอ่อน?
• ฟังก์ชันฐานบนเมชแบบไม่มีโครงสร้างแสดงสนามได้อย่างไร?
• วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ และไฟไนต์วอลุ่มเปรียบเทียบกันอย่างไร?
• ระบบสปาร์สขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นถูกประกอบและแก้ไขได้อย่างไร?

Key theories

การกำหนดรูปแบบอ่อนและวิธี Galerkin

สมการสนามถูกปรับเปลี่ยนให้อยู่ในรูปอินทิกรัลแบบอ่อน และผลเฉลยจะถูกขยายในฟังก์ชันฐานเฉพาะที่ โดยมีเงื่อนไข Galerkin ที่สร้างระบบเชิงเส้นแบบสปาร์สสำหรับค่าโหนด

การสร้างเมชแบบไม่มีโครงสร้าง

ไฟไนต์เอลิเมนต์จะปูรูปทรงเรขาคณิตแบบใดก็ได้ด้วยสามเหลี่ยมหรือทรงสี่หน้า ทำให้สามารถปรับแต่งเมชเฉพาะที่ได้ในบริเวณที่สนามเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว และจัดการกับขอบเขตที่ซับซ้อนซึ่งกริดปกติไม่สามารถทำได้

การประกอบและการแก้ระบบสปาร์ส

ส่วนประกอบของเอลิเมนต์จะถูกนำมารวมกันเป็นเมทริกซ์ความแข็งเกร็งแบบสปาร์สทั่วโลก และจะหาค่าสนามได้โดยการแก้ระบบเชิงเส้นด้วยตัวแก้สปาร์สแบบตรงหรือแบบวนซ้ำ

Clinical relevance

ตัวแก้สมการแบบไฟไนต์เอลิเมนต์และกริดใช้ในการคำนวณสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ความเค้นและการเสียรูปในโครงสร้าง การถ่ายเทความร้อน และการไหลของของไหล และเป็นพื้นฐานสำคัญในการคำนวณทางแม่เหล็กไฟฟ้า กลศาสตร์โครงสร้าง และฟิสิกส์วิศวกรรม

History

วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์พัฒนามาจากวิศวกรรมโครงสร้างในช่วงทศวรรษ 1950 และ 1960 โดยมีรากฐานทางคณิตศาสตร์มาจากการทำงานด้านแปรผัน (variational work) ของ Courant ก่อนหน้านั้น และแพร่หลายไปยังสาขาแม่เหล็กไฟฟ้า การถ่ายเทความร้อน และพลศาสตร์ของไหล เมื่อพลังการประมวลผลและเครื่องมือสร้างเมชพัฒนาขึ้น

Key figures

• Olgierd Zienkiewicz
• Richard Courant
• Jian-Ming Jin

Seminal works

• zienkiewicz2013
• jin2014

Frequently asked questions

เมื่อใดที่ควรเลือกใช้ไฟไนต์เอลิเมนต์มากกว่าไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์?

ไฟไนต์เอลิเมนต์โดดเด่นในรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนหรือโค้งงอ และเมื่อต้องการการปรับแต่งเมชเฉพาะที่ เนื่องจากสามารถปูรูปทรงใดๆ ด้วยเมชแบบไม่มีโครงสร้างได้ ส่วนไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์จะง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพบนกริดปกติและโดเมนที่ไม่ซับซ้อน

การกำหนดรูปแบบอ่อนคืออะไร?

เป็นการปรับเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้อยู่ในรูปอินทิกรัลแบบเฉลี่ย ซึ่งกำหนดให้ผลเฉลยต้องสอดคล้องกับสมการเมื่อเทียบกับฟังก์ชันทดสอบ (test functions) แทนที่จะเป็นทุกจุด ซึ่งช่วยผ่อนคลายข้อกำหนดด้านความเรียบ และเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ทำงานได้