ระเบียบวิธีผลต่างจำกัด

ระเบียบวิธีผลต่างจำกัดประมาณค่าอนุพันธ์โดยใช้ผลหารเชิงผลต่างบนกริด ซึ่งเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นระบบสมการพีชคณิตสำหรับค่าของผลเฉลยที่จุดกริด

Definition

ระเบียบวิธีผลต่างจำกัดคือการทำให้เป็นส่วนย่อยของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งอนุพันธ์จะถูกแทนที่ด้วยผลหารเชิงผลต่างของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ประเมินบนกริดที่มีโครงสร้าง ทำให้เกิดสมการพีชคณิตซึ่งผลเฉลยจะประมาณค่าผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ที่จุดกริด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างการประมาณค่าผลต่างจากการกระจายตัวของเทย์เลอร์ การทำให้เป็นส่วนย่อยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา แผนการก้าวเดินตามเวลาแบบชัดแจ้งและแบบปริยาย (เช่น ฟอร์เวิร์ดออยเลอร์ แบ็คเวิร์ดออยเลอร์ และแคร้งก์-นิโคลสัน) การวิเคราะห์เสถียรภาพแบบฟอนนอยมันน์ และกรอบแนวคิดความสอดคล้อง-เสถียรภาพ-การลู่เข้าที่เฉพาะเจาะจงสำหรับแผนการผลต่าง

Core questions

• การประมาณค่าผลต่างที่แม่นยำสำหรับอนุพันธ์ได้มาอย่างไร และข้อผิดพลาดจากการตัดทอนถูกหาปริมาณอย่างไร?
• แผนการก้าวเดินตามเวลาแบบชัดแจ้งและแบบปริยายแตกต่างกันอย่างไรในด้านเสถียรภาพและต้นทุน?
• การวิเคราะห์แบบฟอนนอยมันน์กำหนดเสถียรภาพของแผนการผลต่างได้อย่างไร?
• ประเภทของสมการกำหนดแผนการที่เหมาะสมและข้อจำกัดของขนาดขั้นตอนได้อย่างไร?

Key theories

ความสอดคล้อง เสถียรภาพ และการลู่เข้า

แผนการผลต่างมีความสอดคล้องกันหากข้อผิดพลาดจากการตัดทอนหายไปเมื่อกริดถูกปรับให้ละเอียดขึ้น และมีเสถียรภาพหากข้อผิดพลาดไม่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต โดยทฤษฎีบทสมมูลของ Lax รับประกันการลู่เข้าสู่ผลเฉลยที่แท้จริงสำหรับปัญหาเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขดี

การวิเคราะห์เสถียรภาพแบบฟอนนอยมันน์

การแยกข้อผิดพลาดออกเป็นโหมดฟูเรียร์บนกริดสม่ำเสมอช่วยลดเสถียรภาพลงเป็นการจำกัดปัจจัยการขยายสำหรับแต่ละโหมด แผนการจะเสถียรเมื่อไม่มีโหมดใดถูกขยาย ทำให้เกิดเงื่อนไขขนาดขั้นตอนที่ชัดเจน เช่น ขีดจำกัดการแพร่และ CFL

Mechanisms

สูตรผลต่างถูกสร้างขึ้นโดยการรวมการกระจายตัวของเทย์เลอร์ที่จุดกริดใกล้เคียงเพื่อยกเลิกพจน์อันดับต่ำ และแยกอนุพันธ์ออก โดยพจน์ที่เหลือที่เป็นผู้นำจะให้ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนและอันดับของระเบียบวิธี สำหรับปัญหาที่ขึ้นกับเวลา แผนการแบบชัดแจ้งจะอัปเดตแต่ละค่าใหม่โดยตรงจากค่าเก่า แต่ต้องเคารพขีดจำกัดเสถียรภาพ (ขีดจำกัดเลขการแพร่สำหรับสมการพาราโบลา เงื่อนไข CFL สำหรับสมการไฮเพอร์โบลา) ในขณะที่แผนการแบบปริยาย เช่น แคร้งก์-นิโคลสัน จะเชื่อมโยงค่าใหม่เข้ากับระบบเชิงเส้นที่มีเสถียรภาพแบบไม่มีเงื่อนไข แต่ต้องมีการแก้ปัญหาในแต่ละขั้นตอน การวิเคราะห์แบบฟอนนอยมันน์จะแทนที่โหมดฟูเรียร์เพื่อทดสอบเสถียรภาพและกำหนดขีดจำกัดเหล่านี้

Clinical relevance

ระเบียบวิธีผลต่างจำกัดถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายสำหรับปัญหาในโดเมนปกติและกริดที่มีโครงสร้าง: การนำความร้อนและการแพร่ การแพร่กระจายของคลื่นและการสร้างแบบจำลองแผ่นดินไหว แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ (ระเบียบวิธีผลต่างจำกัดในโดเมนเวลา) และการกำหนดราคาออปชันผ่านสมการแบล็ก-โชลส์ ความเรียบง่ายและความง่ายในการขยายไปสู่ลำดับที่สูงขึ้นทำให้เป็นทางเลือกแรกเมื่อรูปทรงเรขาคณิตไม่ซับซ้อน

History

รากฐานทางคณิตศาสตร์ถูกวางโดยเอกสารของ Courant-Friedrichs-Lewy ในปี 1928 เกี่ยวกับสมการผลต่างสำหรับ PDEs การวิเคราะห์เสถียรภาพในสมัยสงครามของฟอนนอยมันน์และทฤษฎีบทสมมูลของ Lax ในทศวรรษ 1950 ได้สร้างทฤษฎีสมัยใหม่ขึ้น และระเบียบวิธีผลต่างยังคงเป็นหลักสำคัญของฟิสิกส์และวิศวกรรมเชิงคำนวณ

Key figures

• Richard Courant
• Kurt Friedrichs
• Hans Lewy
• John von Neumann
• Randall J. LeVeque

Seminal works

• leveque2007
• morton2005

Frequently asked questions

ความแตกต่างระหว่างแผนการแบบชัดแจ้งและแบบปริยายคืออะไร?

แผนการแบบชัดแจ้งจะคำนวณค่ากริดใหม่แต่ละค่าโดยตรงจากค่าที่ทราบ แต่จะเสถียรเฉพาะสำหรับขั้นตอนเวลาขนาดเล็กเท่านั้น ในขณะที่แผนการแบบปริยายจะแก้ปัญหาระบบที่เชื่อมโยงกันสำหรับค่าใหม่ทั้งหมดพร้อมกัน ทำให้สามารถใช้ขั้นตอนเวลาที่เสถียรได้ใหญ่ขึ้นมาก โดยมีค่าใช้จ่ายในการแก้ปัญหาเชิงเส้นในแต่ละขั้นตอน

เหตุใดจึงอาจเลือกใช้ผลต่างจำกัดมากกว่าไฟไนต์เอลิเมนต์?

ในรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายและสม่ำเสมอ ผลต่างจำกัดนั้นง่ายต่อการนำไปใช้ มีต้นทุนต่ำ และง่ายต่อการทำให้เป็นลำดับสูง ไฟไนต์เอลิเมนต์จะมีความได้เปรียบเป็นหลักเมื่อโดเมนมีรูปร่างซับซ้อน หรือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดสูตรเชิงแปรผันตามธรรมชาติ