ลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่อง

ลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่องจะคงอยู่ในแต่ละสถานะเป็นระยะเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลแล้วจึงกระโดดไปยังสถานะอื่น โดยพลวัตของมันถูกควบคุมโดยเมทริกซ์กำเนิดของอัตราการเปลี่ยนสถานะ แทนที่จะเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะแบบขั้นตอนเดียว

Definition

ลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่องคือกระบวนการมาร์คอฟบนปริภูมิสถานะที่นับได้ ซึ่งคงอยู่ในแต่ละสถานะเป็นระยะเวลาที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล แล้วจึงกระโดดตามความน่าจะเป็นที่กำหนด โดยอัตราการคงอยู่และความน่าจะเป็นของการกระโดดจะสรุปอยู่ในเมทริกซ์กำเนิด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างแบบกระโดดและคงอยู่ด้วยเวลาคงอยู่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและลูกโซ่กระโดดแบบฝังตัว เมทริกซ์กำเนิดหรือ Q-เมทริกซ์ของอัตราการเปลี่ยนสถานะ สมการเชิงอนุพันธ์โคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและถอยหลังสำหรับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ ผลเฉลยแบบเมทริกซ์เอ็กซ์โพเนนเชียล การระเบิดและความสม่ำเสมอ กระบวนการเกิดและตาย และพฤติกรรมระยะยาวที่ควบคุมโดยการกระจายแบบคงที่

Core questions

• ลูกโซ่แบบเวลาต่อเนื่องถูกสร้างขึ้นจากเวลาคงอยู่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและความน่าจะเป็นของการกระโดดได้อย่างไร?
• เมทริกซ์กำเนิดคืออะไร และมันกำหนดความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะได้อย่างไร?
• สมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและถอยหลังอธิบายวิวัฒนาการตามเวลาได้อย่างไร?
• ลูกโซ่สามารถกระโดดได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งในเวลาจำกัดเมื่อใด และจะป้องกันสิ่งนี้ได้อย่างไร?

Key concepts

• เมทริกซ์กำเนิด
• เวลาคงอยู่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
• ลูกโซ่กระโดดแบบฝังตัว
• สมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและถอยหลัง
• กระบวนการเกิดและตาย

Key theories

เมทริกซ์กำเนิดและสมการโคลโมโกรอฟ

รายการนอกแนวทแยงมุมของเมทริกซ์กำเนิดแสดงอัตราการกระโดด และแนวทแยงมุมแสดงอัตราการออกจากสถานะทั้งหมด เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์แบบเดินหน้าและถอยหลังที่ขับเคลื่อนโดยเมทริกซ์กำเนิด โดยมีเมทริกซ์เอ็กซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์กำเนิดเป็นผลเฉลยเชิงรูปแบบ

การสร้างลูกโซ่กระโดดและเวลาคงอยู่

ลูกโซ่แบบเวลาต่อเนื่องสามารถสร้างขึ้นได้โดยลูกโซ่กระโดดแบบเวลาไม่ต่อเนื่องที่ฝังตัวร่วมกับเวลาคงอยู่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ขึ้นอยู่กับสถานะ ซึ่งจะแยกส่วนที่กระบวนการไปจากระยะเวลาที่กระบวนการรอ และทำให้การจำลองและการวิเคราะห์เป็นไปอย่างตรงไปตรงมา

Clinical relevance

ลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่องใช้จำลองเครือข่ายการเข้าคิวและโทรคมนาคม จลนพลศาสตร์ของช่องไอออนและเครือข่ายปฏิกิริยาเคมี แบบจำลองประชากรและโรคระบาดในเวลาต่อเนื่อง และแบบจำลองการย้ายระดับความเสี่ยงด้านเครดิต การกำหนดรูปแบบด้วยเมทริกซ์กำเนิดเชื่อมโยงโดยตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้ในการคำนวณพฤติกรรมชั่วคราวและสมดุล

History

โคลโมโกรอฟได้พัฒนาสมการเชิงอนุพันธ์แบบเดินหน้าและถอยหลังสำหรับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะแบบเวลาต่อเนื่องในปี 1931 และเฟลเลอร์ได้วิเคราะห์ผลเฉลย การระเบิด และพฤติกรรมขอบเขตของสมการเหล่านั้น ซึ่งเป็นการวางรากฐานทฤษฎีที่อิงตามเมทริกซ์กำเนิดซึ่งเป็นพื้นฐานของการศึกษาในปัจจุบันเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟแบบกระโดด

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Agner Krarup Erlang

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

ลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่องแตกต่างจากแบบเวลาไม่ต่อเนื่องอย่างไร?

ลูกโซ่แบบเวลาไม่ต่อเนื่องจะเคลื่อนที่ตามขั้นตอนจำนวนเต็มที่กำหนดไว้ ในขณะที่ลูกโซ่แบบเวลาต่อเนื่องจะคงอยู่ในแต่ละสถานะเป็นระยะเวลาสุ่มแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลก่อนที่จะกระโดด ดังนั้นพลวัตของมันจึงถูกอธิบายด้วยอัตราการเปลี่ยนสถานะในเมทริกซ์กำเนิด แทนที่จะเป็นความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะแบบขั้นตอนเดียว

การระเบิดในบริบทนี้คืออะไร?

การระเบิดคือความเป็นไปได้ที่ลูกโซ่จะกระโดดได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งในช่วงเวลาจำกัด ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้เมื่ออัตราการคงอยู่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต ลูกโซ่จะถูกเรียกว่าสม่ำเสมอหรือไม่ระเบิดเมื่อความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์